... arbitr\'aria¹

Isto não está em contradição com as relações de incerteza. Elas dizem que não é possível determinar simultaneamente posição e momento.

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... qu\^antico²

Abuso de linguagem. Todos os sistemas são quânticos. A expressão correta seria ``sistema incorretamente descrito pela física clássica''.

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... coordenadas³

Ou melhor, o elemento de volume em termos dessas coordenadas.

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... \'e.⁴

Na realidade, há quantidades físicas também da forma

$$\int dq \psi^*(q) \phi(q) \xi(q)$$

onde $\xi(q)$ é outra função de onda. Como essas quantidades também devem permanecer inalteradas, é necessário acrescentar que a trasformação

$$\psi^{\prime}(q)=e^{i\alpha}\psi(q)$$

deve ser tal que o mesmo $\alpha$ é usado para todas as funções de onda.

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... completa.⁵

Isto quer dizer que a função de onda de cada uma das partes tem um ``futuro'' totalmente previsível, ou seja, que as duas partes do sistema são independentes.

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...inuas.⁶

Natura non facit saltus, Isaac Newton.

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....⁷

Por exemplo, seja $\hat{f}=-i\frac{\partial}{\partial x}$. Então, dado $\psi$ qualquer, temos $\hat{f}\psi=-i\frac{\partial \psi}{\partial x}$. O operador $\hat{f}^*$ deve ser tal, então, que $\hat{f}^* \psi^*= (-i\frac{\partial \psi} {\partial x})^* = i\frac{\partial \psi^*}{\partial x}$. Logo, $\hat{f}^* = i\frac{\partial}{\partial x}$.

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... sistema.⁸

Eqüivalentemente, uma rotação $-\vec{\delta\omega}$ sobre o sistema de eixos em relação ao qual o sistema é referido.

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... Dirac⁹

A regra de Dirac diz: sejam $A(p_i,q_i)$ e $B(p_i,q_i)$ duas quantidades físicas da mecânica clássica, e seja $\{A,B\}$ o produto de Poisson (parênteses de Poisson) delas. Então, se $\hat{A}$ e $\hat{B}$ são os operadores hermitianos que representam essas quantidades na mecânica quântica, temos a igualdade simbólica:

$$[\hat{A},\hat{B}]=-i\hbar\{A,B\}$$

Ou seja, para obter o valor do comutador, calcula-se o produto de Poisson das quantidades clássicas correspondentes, multiplicando-se o resultado por $-i\hbar$. Exemplo:
$\{L_a,L_b\}=-\epsilon_{abc}L_c$. Logo, $[\hat{L}_a,\hat{L}_b]= i\hbar\epsilon_{abc} \hat{L}_c$.

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...:¹⁰

Naturalmente eles não sabiam mecânica quântica, mas estudavam vibrações de corpos elásticos.Um dos problemas dessa área, por exemplo, é a determinação das frequências que um tambor, de determinada forma, pode emitir. Trata-se de um problema de autovalores: as freqüências emitidas são as autofreqüências.

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... popular.¹¹

O leitor dedicado gostará de investigar por que não aparece também um potencial correspondente às forças de Coriolis.

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... assintótico.¹²

Ver, por exemplo, Dicke, Wittke,Introduction to Quantum Mechanics, página 161.

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... Bohr!¹³

Exercício: no modêlo pré-quântico de Bohr, das órbitas de momento angular $L=n\hbar$, determine o raio da menor órbita estacionária. Você deverá encontrar $a_0$, o raio de Bohr.

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....¹⁴

Estritamente, $\omega_0$ é a ``freqüência circular''. A verdadeira freqüência, que é o inverso do período, é $\nu = \frac{\omega_0}{2\pi}$.

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... nome¹⁵

A famosa transformada de Laplace!

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... nota¹⁶

Isto quer dizer que as energias consideradas são positivas, como é o caso para um oscilador harmônico de energia potencial $\frac{1}{2}kx^2$

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...irculos¹⁷

Bem, transforma círculos em elipses, mas, no caso, a transformação é isotrópica, e transforma círculos em círculos...

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