Valor médio

Vamos introduzir agora o conceito de valor médio $\overline{f}$ da quantidade física $f$ em um dado estado. Sejam $f_n$ os valores possíveis de $f$, ou seja, seus autovalores. Sejam $\vert a_n\vert^2$ as probabilidades de cada um dos autovalores, no estado em questão. Define-se então o valor médio como

$$\overline{f} = \sum_{n}f_n\vert a_n\vert^2$$

Usa-se também a notação $\langle f \rangle$, para a mesma quantidade. Queremos encontrar uma expressão para $\overline{f}$ em termos da função de onda do estado considerado. Seja $\psi$ esta função. Para fazer isso vamos associar à quantidade física $f$ um operador linear $\hat{f}$ que atua sobre as funções de onda. Seja $\hat{f}\psi$ a função obtida quando $\hat{f}$ atua sobre $\psi$. Queremos, de $\hat{f}$, que

$$\overline{f} = \int dq \psi^*(\hat{f}\psi)$$

para qualquer estado $\psi$ (lembre-se que estipulamos que as quantidades físicas deveriam ser expressões bilineares na função de onda). Então,

$$\overline{f} = \sum_{n}f_n a_n a_n^* = \int dq \psi^*\sum_{n}a_n f_n \psi_n$$

onde usamos $a_n = \int dq \psi^* \psi_n$, obtido anteriormente. Vemos, primeiramente, que

$$\overline{f} \psi = \sum_{n}a_n f_n \psi_n$$

Ora,

$$\psi = \sum_{n} a_n \psi_n \;,$$

de maneira que $\overline{f}$ é linear, e que

$$\hat{f}\psi_n = f_n \psi_n$$

Sumarizando:

$$\hat{f}\psi_n = f_n \psi_n$$ (1)

$$\hat{f} = \int dq \psi^* \hat{f} \psi$$ (2)

$$a_n = \int dq \psi_n^* \psi$$ (3)

$$\int dq \psi_n^* \psi_m = \delta_{n m}$$ (4)

Os valores assumidos por uma quantidade física são reais. Portanto, os valores médios $\overline{f}$ de uma quantidade física são também reais, como se vê de $\overline{f} = \sum_{n}f_n\vert a_n\vert^2$. Note-se (exercício fácil), que, se o estado for uma autofunção de $f$, o valor médio $\overline{f}$ coincide com o autovalor de $f$ nesse estado. Do fato de $\overline{f}$ ser real segue uma propriedade importante dos operadores associados a quantidades físicas:

$$\overline{f}=\int dq \psi^* \hat{f} \psi = \overline{f}^* = \left(\int dq \psi^* \hat{f} \psi\right)^*$$ (5)

Ora,

$$\left(\int dq \psi^*(\hat{f}\psi)\right)^* = \int \left(\ps... ... \int \psi(\hat{f}\psi)^* dq = \int \psi \hat{f}^* \psi^* dq$$ (6)

onde $\hat{f}^*$ é definido assim: se $\hat{f}\psi = \phi$, então $\hat{f}^*$ é o operador tal que $\hat{f}^* \psi^* = \phi^*$.⁷ Então,

$$\int \psi^* \hat{f} \psi dq = \int \psi \hat{f}^* \psi^* dq$$

Vamos definir o operador transposto $^t\hat{f}$ do operador $\hat{f}$. Sejam $\psi$ e $\phi$ funções arbitárias. Então $^t\hat{f}$ é tal que

$$\int \psi^{*} (^t\hat{f}) \psi dq = \int \phi \hat{f}\psi^* dq$$

Por exemplo,

$$\int \psi \hat{f}^* \psi^* dq = \int \psi^* (^t\hat{f}^*)\psi dq$$

Da condição de realidade de $\overline{f}$, Eq.(6), temos

$$\int \psi^* \hat{f} \psi dq = \int \psi \hat{f}^* \psi^* dq = \int \psi^* (^t\hat{f}^*)\psi dq$$ (7)

Comparando os dois extremos vemos que

$$\hat{f} = (^t\hat{f})^*$$

Operadores com esta propriedade são ditos hermiteanos. Logo, os operadores associados a quantidades físicas são operadores lineares hermiteanos. Podemos, formalmente, considerar quantidades físicas complexas, isto é, cujos autovalores são complexos. Por exemplo, dadas as coordenadas $x$ e $y$,podemos considerar a quantidade $x+iy$. Seja $f$ uma quantidade desse tipo, e seja $f^*$ a quantidade cujos autovalores são os complexo-conjugados dos autovalores de $f$. À quantidade $f$ corresponde o operador $\hat{f}$. Denotemos por $\hat{f}^+$ o operador correspondente à quantidade $f^*$. Este operador é denominado o adjunto de $\hat{f}$. O valor médio da quantidade $f^*$ é dado por

$$\overline{f^*} = \int \psi^* \hat{f}^+ \psi dq$$

onde apenas adaptamos a definição de média de um operador. Ora,

$$\overline{f} = \int \psi^* \hat{f} \psi dq$$

logo,

$$\overline{f}^* = \left(\int \psi^* \hat{f} \psi dq \right)^... ...\psi \hat{f}^* \psi^* dq = \int \psi^* (^t \hat{f})^* \psi dq$$

Mas

$$\overline{f^*} = \sum_{n} f_n^* \vert a_n\vert^2= \left(\sum_{n}f_n \vert a_n\vert^2\right)^* = \overline{f}^*$$

Ou seja,

$$\int \psi^* \hat{f}^+ \psi dq = \int \psi^* (^t\hat{f})^* \psi dq$$

Comparando, temos

$$\hat{f}^+ = (^t\hat{f})^*$$

Em palavras, o adjunto é o transposto do conjugado. A condição de hermiticidade de um operador, escrita anteriormente como

$$(^t \hat{f}) = \hat{f}^*$$

pode agora ser escrita:

$$\hat{f} = \hat{f}^+$$

e os operadores hermiteanos são aqueles que coincidem com os adjuntos. Daí serem chamados também de auto-adjuntos. Vamos agora mostrar que a ortogonalidade das autofunções de um operador hermiteano pode ser demonstrada diretamente. Sejam $f_n$ e $f_m$ dois autovalores diferentes do operador hermiteano $\hat{f}$. Sejam $\psi_n$ e $\psi_m$ as autofunções correspondentes. Então,

$$\hat{f}\psi_n = f_n \psi_n$$ (8)

$$\hat{f} \psi_m = f_m \psi_m$$ (9)

Multiplicando a primeira por $\psi_m^*$, temos

$$\psi_m^* \hat{f}\psi_n = \psi_m^* f_n \psi_n = f_n \psi_m^* \psi_n$$

e

$$\int dq \psi_m^* \hat{f} \psi_n = f_n \int dq \psi_m^* \psi_n$$ (10)

Tomando o complexo conjugado de (9) e multiplicando por $\psi_n$, temos $\psi_n \hat{f}^* \psi_m^* = f_m\psi_n \psi_m^*$. Integrando,

$$\int dq \psi_n \hat{f}^* \psi_m^* = f_m \int dq \psi_n \psi_m^*$$ (11)

$$\int dq \psi_m^* \hat{f} \psi_n - \int dq \psi_n \hat{f}^+ \psi_m^* = (f_n - f_m) \int dq \psi_n \psi_m^*$$ (12)

Mas

$$\int dq \psi_n \hat{f}^*\psi_m^* = \int dq \psi_m^* (^t\hat... ...dq \psi_m^* \hat{f}^+ \psi_n = \int dq \psi_m^* \hat{f}\psi_n$$

pois $\hat{f}$ é hermiteano. Logo, o primeiro termo de (12) é zero. Conseqentemente,

$$(f_n - f_m)\int \psi_n \psi_m^* dq =0$$

e, como $f_n \neq f_m$, segue que

$$\int dq \psi_n \psi_m^* =0 \;\;\;\; (n \neq m)$$