Algumas propriedades do átomo de hidrogênio

Até agora escrevemos as funções de onda assim:

$$\psi_{nlm}(r,\theta,\phi)= K R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta, \phi)$$

Como determinar a constante $K$? Uma vez que os harmônicos esféricos são normalizados por conta própria, pois

$$\int_{0}^{2\pi}d\phi\int_{0}^{\pi}\sin{\theta}\;d\theta \vert Y_{lm}(\theta,\phi)\vert^2=1$$

devemos ter

$$\int_{0}^{\infty}r^2 dr \int_{0}^{\pi}\sin{\theta}d\theta... ...rt K\vert^2\int_{0}^{\infty}r^2 dr \vert R_{nl}(r)\vert^2 =1$$ (176)

Exemplo: para o estado $\psi_{100}$,

$$\vert K\vert^2\int_{0}^{\infty}dr r^2 \exp{-\frac{2Zr}{a_0}} =1$$

Usando

$$\int_{0}^{\infty}dr r^2 \exp{-\frac{2Zr}{a_0}}= \frac{a_0^3}{4Z^3}$$

obtemos

$$R_{10}(r)=\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{\frac{3}{2}}2 \exp{-\frac{Zr}{a_0}}$$

confirmando o valor da tabela. De posse da expressão detalhada da função de onda, podemos fazer perguntas interessantes. Qual é a probabilidade de o elétron estar, no estado fundamental do átomo de hidrogênio, entre $r$ e $r+dr$? Ela é dada por

$$P(r)dr = \left(\frac{Z}{a_0}\right)^3 8\; \exp{\left(-\frac{2Zr}{a_0}\right)} r^2 dr$$ (177)

Para que valor de $r$ a probabilidade é máxima (para idêntidos $dr$)? No ponto de máximo, teremos

$$\frac{dP(r)}{dr} = 2r\exp{\left(-\frac{2Zr}{a_0}\right)}-r^2\frac{2Z}{a_0} \exp{\left(-\frac{2Zr}{a_0}\right)}=0$$

ou

$$1-\frac{rZ}{a_0}=0 \;\;.$$

Logo, para o átomo de hidrogênio ($Z=1$), temos que a probabilidade máxima é para $r=a_0$, o raio de Bohr!¹³ Vamos calcular agora a velocidade média do elétron no estado fundamental.

$$\langle \frac{\hat{p}_x}{m}\rangle =\int_{0}^{2\pi}d\phi ... ...r,\theta,\phi)\frac{\hat{p}_x}{m}\psi_{100}(r, \theta, \phi)$$ (178)

Usando $\hat{p}_x=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$ e $Y_{00}(\theta, \phi)=\frac{1}{\sqrt{4\pi}}$, obtemos

$$\langle \frac{\hat{p}_x}{m}\rangle = \frac{8i\hbar}{4\pi ... ...}^{2\pi}d\phi \cos{\phi}\int_{0}^{\pi}d\theta \sin^2{\theta}$$ (179)

onde usamos $x=r\sin{\theta}\cos{\phi}$. Como

$$\int_{0}^{2\pi}d\phi \cos{\phi}=0$$

temos que o valor médio da componente $x$ da velocidade do elétron no estado fundamental é 0. Como o estado é esfericamente simétrico, o mesmo resultado deve valer para as outras componentes. Logo,

$$\langle \frac{\vec{\hat{p}}}{m}\rangle =0$$

Isto posto, podemos dizer que e elétron está em repouso, no estado fundamental? Certamente não! Em qualquer modêlo clássico com órbita circular (qualquer órbita fechada, de fato) o elétron está em movimento e sua velocidade média é zero. Para obter mais informações sobre o que o elétron faz no estado fundamental do átomo de hidrogênio, vamos calcular sua energia cinética média. Ela é dada por:

$$\langle \frac{p^2}{2m}\rangle = -\frac{\hbar ^2}{2m}\int dq \psi_{100}(q) \vec{\nabla}^2 \psi_{100}(q)= \nonumber$$

$$= -\frac{\hbar ^2}{2m}\int_{0}^{\infty}dr r^2 R_{10}(r)\in... ...artial r}\right)-\frac{\hat{\vec{l}}^2}{r^2}\right)R_{10}(r)$$ (180)

$$\begin{eqnarray*} & = & -\frac{\hbar^2}{2m}\int_{0}^{\infty}dr R_{10}(r)\frac{... ..._{0}^{\infty}dr r^2\exp{\left(-\frac{2Zr}{a_0}\right)}\right\} \end{eqnarray*}$$

Usando as integrais

$$\int_{0}^{\infty}dr r^2 \exp{\left(-\frac{2Zr}{a_0}\right)}=\frac{a_0 ^3}{4Z^3}$$

e

$$\int_{0}^{\infty}dr r \exp{\left(-\frac{2Zr}{a_0}\right)}=\frac{a_0 ^2}{4 Z^2}$$

obtemos o resultado, para $Z=1$,

$$\langle \frac{p^2}{2m}\rangle= \frac{\hbar ^2}{2m a_0 ^2}$$ (181)

Logo, o elétron não está parado. E nem poderia: se tivesse momento perfeitamente definido (no caso, nulo), sua posição teria de ser totalmente indefinida, pelo princípio da incerteza. Como a incerteza na posição é da ordem de $a_0$ e, da Eq.(182), vemos que a incerteza no momento é da ordem de $\frac{\hbar}{a_0}$, vemos que o produto das incerteza é da ordem de $\hbar$. Ou seja, o elétron tem o mínimo movimento exigido pelo princípio de incerteza. Está tão parado quanto é possível!