Rotações e o momento angular

Uma partícula de massa $m$ está em um estado de função de onda $\psi(\vec{r})$. Vamos executar uma rotação infinitesimal $\vec{\delta \omega}$ sobre o sistema.⁸ Em sua nova posição, a função de onda será

$$\psi(\vec{r}+\delta\vec{r})=\psi(\vec{r})+(\delta\vec{\omega}\times \vec{r}).\vec{\nabla}\psi(\vec{r})\;\;,$$

desprezando-se os termos a partir dos quadráticos em $\vert\delta\vec{\omega}\vert$. Como

$$(\delta\vec{\omega}\times \vec{r}).\vec{\nabla}= \delta\vec{\omega}.(\vec{r}\times \vec{\nabla})$$

podemos escrever

$$\psi(\vec{r}+\delta\vec{r}) = \psi(\vec{r}) + \delta\vec{\omega}.(\vec{r}\times \vec{\nabla}).\psi(\vec{r})$$

$$= \left(1 + \delta\vec{\omega}.(\vec{r}\times \vec{\nabla})\right)\psi(\vec{r})$$

$$= \left(1+\frac{i}{\hbar}\delta\vec{\omega} . (\vec{r}\times (-i\hbar)\vec{\nabla})\right)\psi(\vec{r})$$ (67)

$$\psi(\vec{r}+\delta\vec{r}) = \left(1+\frac{i}{\hbar}\d... ...ga}.(\hat{\vec{r}}\times\hat{\vec{p}})\right) \psi(\vec{r})$$ (68)

Denotando o operador $\hat{\vec{r}}\times\hat{\vec{p}}$ por $\hat{\vec{L}}$, temos

$$\psi(\vec{r}+\delta\vec{r})=\left(1+\frac{i}{\hbar}\delta\vec{\omega}. \hat{\vec{L}}\right)\psi(\vec{r})$$ (69)

O operador $\hat{\vec{L}}$ é denominado momento angular, e é escrito, mais detalhadamente, como

$$\hat{\vec{L}}=\hat{L}_x\vec{i}+\hat{L}_y\vec{j}+\hat{L}_z\vec{k}$$

Da Eq.(67) se tira a expressão

$$\hat{\vec{L}}=-i\hbar\hat{\vec{r}}\times \vec{\nabla}$$ (70)

ou, para as componentes,

$$\hat{L}_x = -i\hbar \left(y\frac{\partial}{\partial z}-z\frac{\partial}{\partial y}\right)$$ (71)

$$\hat{L}_y = -i\hbar \left(z\frac{\partial}{\partial x}-x\frac{\partial}{\partial z}\right)$$ (72)

$$\hat{L}_z = -i\hbar \left(x\frac{\partial}{\partial y}-y\frac{\partial}{\partial x}\right)$$ (73)

Como $\hat{\vec{L}}$ é hermiteano (por que?),

$$\hat{U}(\delta\vec{\omega})=1 + \frac{i}{\hbar}\delta\vec{\omega}. \hat{\vec{L}}$$

é unitário, e é a parte infinitesimal de

$$\hat{U} = e^{\frac{i}{\hbar}\delta\vec{\omega}.\hat{\vec{L}}}$$

que, atuando sobre a função de onda de um sistema, produz a função de onda do mesmo, rodado de $\delta\vec{\omega}$.

Exemplo:
(1) Rotação em torno do eixo $z$: usando coordenadas esféricas, uma rotação em torno do eixo $z$ muda o valor da coordenada $\phi$. A rotação que leva $\phi$ em $\phi+ \Delta \phi$ é caracterizada por $\delta\vec{\omega}=\delta\omega_z \vec{k}$, com $\delta \omega_z = \Delta \phi$. Logo,

$$U(\delta\vec{\omega})=1+\frac{i}{\hbar}\delta\omega_z\vec{k}.\hat{\vec{L}} =1 + \frac{i}{\hbar}\Delta \phi \hat{L}_z$$

Seja $\psi(\phi)$ a função de onda do sistema (explicitamos apenas o argumento que será alterado. A função de onda normalmente dependerá de $r$, $\theta$ e $\phi$, quando o sistema é descrito em termos de coordenadas esféricas). A rotação considerada leva $\psi(\phi) \rightarrow \psi(\phi + \Delta \phi)$. Mas

$$\psi(\phi + \Delta \phi) = \psi(\phi) + \Delta \phi \frac{... ...+ \Delta \phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\psi(\phi)$$

para transformações infinitesimais, e usando a fórmula dos acréscimos finitos do Cálculo. Outra maneira de escrever isto é

$$\psi(\phi + \Delta \phi) = \left(1 + \frac{i}{\hbar}\Delta \phi \hat{L}_z\right)\psi(\phi)$$

Comparando as duas expressões, tira-se facilmente que

$$\hat{L}_z = -i\hbar\frac{\partial}{\partial \phi}$$ (74)

A expressão explícita dos operadores $\hat{L}_x$, $\hat{L}_y$ e $\hat{L}_z$ em coordenadas esféricas pode também ser obtida diretamente da Eq.(73) utilizando as fórmulas de transformação

$$\begin{eqnarray*} r & = & \sqrt{x^2+y^2+z^2}\\ \theta & = & \arctan{\left(\fr... ...\right)}\\ \phi & = & \arctan{\left(\frac{y}{x}\right)} \;\;. \end{eqnarray*}$$

Trata-se de um cálculo simples mas trabalhoso. Vamos seguir um caminho indireto mas mais iluminante. Primeiro, é conveniente medir o momento angular em unidades de $\hbar$, isto é, introduzir o operador $\hat{\vec{l}}$ tal que

$$\hat{\vec{L}}=\hbar \hat{\vec{l}}$$

onde , de novo,

$$\hat{\vec{l}}=\hat{l}_x\vec{i}+\hat{l}_y\vec{j}+\hat{l}_z\vec{k}$$

As expressões para as componentes de $\hat{\vec{l}}$ são, como segue de (73),

$$\hat{l}_x = -i \left(y\frac{\partial}{\partial z}-z\frac{\partial}{\partial y}\right)$$ (75)

$$\hat{l}_y = -i\left(z\frac{\partial}{\partial x}-x\frac{\partial}{\partial z}\right)$$ (76)

$$\hat{l}_z = -i\left(x\frac{\partial}{\partial y}-y\frac{\partial}{\partial x}\right)$$ (77)

Por um cálculo direto, ou pelo uso da regra de Dirac⁹ obtêm-se:

$$[\hat{l}_a,\hat{l}_b]=i\epsilon_{abc}\hat{l}_c$$ (78)

Como as componentes $\hat{\vec{l}}$ não comutam entre si, não há autofunções comuns dessas componentes. Introduzindo o momento angular total

$$\hat{\vec{l}}=\hat{l}_x^2+\hat{l}_y^2+\hat{l}_z^2$$

observamos que

$$[\hat{\vec{l}}^2,\hat{l}_x]=[\hat{l}_x^2,\hat{l}_x]+[\hat{l}_y^2,\hat{l}_x]+[\hat{l}_z^2,\hat{l}_x]$$

Como

$$[\hat{l}_{x}^{2},\hat{l}_x]= 0$$ (79)

$$[\hat{l}_{y}^{2},\hat{l}_x]= -i \hat{l}_{y} \hat{l}_{z} -i \hat{l}_{z} \hat{l}_{y}$$ (80)

$$[\hat{l}_{z}^{2},\hat{l}_x] = i \hat{l}_z \hat{l}_y +i\hat{l}_y\hat{l}_z$$ (81)

segue que

$$[\hat{\vec{l}}^2,\hat{l}_x]=0$$

A direção $x$ não tendo nenhum privilégio, segue que:

$$[\hat{\vec{l}}^2,\hat{l}_y]= [\hat{\vec{l}}^2,\hat{l}_z]=0\; ,$$

Sendo assim, podemos construir autofunções comuns a $\hat{\vec{l}}^2$ e uma das componentes de $\hat{\vec{l}}$. Por causa da expressão simples de $\hat{l}_z$ em coordenadas esféricas, escolhemos o par $\hat{\vec{l}}^2$,$\hat{l}_z$.