Autofunções simultâneas do momento angular total e da componente z

Seja $\psi(\phi)$ a autofunção de $\hat{l}_z$ de autovalor $m$. Calculemos

$$\begin{eqnarray*} \hat{l}_z\left(\hat{l}^+\psi_m\right) & = & (\hat{l}_z\hat{l}... ...}\psi_m + m\hat{l}_{+}\psi_m\\ & = & (m+1)(\hat{l}_{+}\psi_m) \end{eqnarray*}$$

Logo, se $\hat{l}_z\psi_m = m\psi_m$, então

$$\hat{l}_{+}\psi_m = K\psi_{m+1}$$

Analogamente se mostra que

$$\hat{l}_{-}\psi_m=K^{\prime}\psi_{m-1}$$

Assim, usando os operadores $\hat{l}_{+}$ e $\hat{l}_{-}$, pode-se varrer todo o espectro do operador $\hat{l}_z$. Considere o operador

$$\hat{\vec{l}}^2-\hat{l}_z^2=\hat{l}_x^2+\hat{l}_y^2\;\;.$$

Lema:Se $\hat{O}$ é hermiteano,

$$\langle \hat{O}^2 \rangle \geq 0$$

para qualquer estado.
Demonstração:

$$\int dq \psi^*(q)\hat{O}^2\psi(q) = \int dq\left(\hat{O}\p... ...{O}\psi(q)\right) =\int dq \vert\hat{O}\psi(q)\vert^2 \geq 0$$

Em particular, segue que $\langle \hat{l}_x^2+\hat{l}_y^2 \rangle \geq 0$, logo,

$$\langle \hat{\vec{l}}^2 - \hat{l}_z^2\rangle \geq 0$$ (93)

A construção das autofunções de $\hat{\vec{l}}^2$ é facilitada pelo fato de que a expressão de $\hat{\vec{l}}^2$ é um operador diferencial familiar à física clássica. De fato, um cálculo direto leva a

$$\hat{l}_{\pm}=\exp{(\pm i\phi)}\left(\pm \frac{\partial}{\p... ...\theta} + i \cot\theta \frac{\partial}{\partial \phi}\right)$$ (94)

e, como

$$\hat{\vec{l}}^2 = \hat{l}_{+}\hat{l}_{-}+\hat{l}_z^2-\hat{l}_z$$

obtém-se

$$\hat{\vec{l}}^2=-\left(\frac{1}{\sin^2{\theta}}\frac{\parti... ... \theta}(\sin{\theta}\frac{\partial}{\partial \theta})\right)$$ (95)

Acontece que o laplaceano em coordenadas esféricas é

$$\vec{\nabla}^2 = \frac{1}{r^2}\left \{\frac{\partial}{\par... ...\sin{\theta}\frac{\partial}{\partial \theta})\right)\right \}$$ (96)

ou seja,

$$\vec{\nabla}^2 = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\l... ...ac{\partial}{\partial r}\right)- \frac{\hat{\vec{l}}^2}{r^2}$$ (97)

Os físicos do século XIX resolveram o problema de determinar as autofunções de $\hat{\vec{l}}^2$:¹⁰ essas funções são os harmônicos esféricos, $Y_{lm}(\theta, \phi)$, que satisfazem as equações de autovalores

$$\hat{\vec{l}}^2Y_{lm}(\theta, \phi) = l(l+1)Y_{lm}(\theta, \phi)$$ (98)

$$\hat{l}_z Y_{lm}(\theta, \phi) = mY_{lm}(\theta, \phi)$$ (99)

Os harmônicos esféricos são muito bem conhecidos. Para um estudo deles no contexto clássico as minhas referências preferidas são Courant [4] e Sommerfeld [7]. Nessas notas, usando técnicas que introduziremos a seguir, construiremos explicitamente os $Y_{lm}$. Para o momento é suficiente informar que

$$Y_{lm}(\theta, \phi)=K\;P^l_{\;\; m}(\theta)\exp{(im\phi)}$$

ou seja, é o produto de uma função de $\theta$ por uma autofunção de $\hat{l}_z$. Uma observação importante: as autofunções de $\hat{l}_z$ são as funções $\exp{(im\phi)}$ para qualquer inteiro $m$. Quando construirmos as autofunções comuns a $\hat{\vec{l}}^2$ e $\hat{l}_z$, veremos que $m$ sofrerá mais restrições. De fato, como temos

$$\langle \hat{\vec{l}}^2-\hat{l}^2_z\rangle \geq 0$$

segue que

$$\int dq Y_{lm}^*(q)\left(\hat{\vec{l}}^2-\hat{l}_z^2\right)... ...t)\int dq Y_{lm}^*(q)Y_{lm}(q)=\left(l(l+1)-m^2\right) \geq 0$$ (100)

Portanto, dado $l$, $m$ não pode ser qualquer inteiro. O maior valor permitido é tal que

$$l(l+1) \geq m^2$$

Vê-se imediatamente que $m=l$ é permitido, mas $m=l+1$ é proibido. Logo, o máximo valor permitido de $m$ para as autofunções $Y_{lm}(q)$ é $m=l$. Um argumento an'alogo mostra que o menor é $m=-l$. Resumindo,

$$-l \leq m \leq l$$

Neste intervalo,

$$\hat{\vec{l}}^2 Y_{lm}(\theta,\phi)=l(l+1)Y_{lm}(\theta, \phi)$$ (101)

$$\hat{l}_zY_{lm}(\theta, \phi) = m Y_{lm}(\theta, \phi)$$ (102)

Assim, para cada $l$ há $2l+1$ valores distintos de $m$.