O Oscilador Harmônico

Considere a equação

$$\frac{d^2y}{dx^2}-2x\frac{dy}{dx}+2ny=0$$ (218)

que aparece na solução do problema de determinar os estados estacionários do oscilador harmônico. Aqui $n$ é um número qualquer, não necessariamente um inteiro, apesar da notação. Colocando-a na forma

$$(a_0+b_0x)y+(a_1+b_1x)\frac{dy}{dx}+(a_2+b_2x)\frac{d^2y}{dx^2}=0$$

vemos que

$$b_0=0 \;\;\; a_0=2n$$

$$b_1=-2\;\;\;a_1=0$$

$$b_2=0\;\;\;a_2=1$$

Temos, então,

$$\begin{eqnarray*} P(z) & = & 2n+z^2\\ Q(z) & = & -2z \end{eqnarray*}$$

e

$$Z(z)=\frac{1}{-2z}e^{-\frac{1}{2}\int\frac{z^2+2n}{z}dz}$$

e, como

$$\int dz\frac{z^2+2n}{z}=\frac{z^2}{2}+2n\log{z}\;,$$

$$e^{\int\frac{P}{Q}dz}=e^{-\frac{1}{2}(\frac{z^2}{2}+2n\log{z})} =\frac{e^{-\frac{z^2}{4}}}{z^n}$$

Logo,

$$Z(z)=-\frac{1}{2z}\frac{e^{-\frac{z^2}{4}}}{z^n}=-\frac{1}{2} \frac{e^{-\frac{z^2}{4}}}{z^{n+1}}$$ (219)

e

$$y(x)=-\int_{C}\frac{e^{-\frac{z^2}{4}}}{2z^{n+1}}e^{xz}dz$$ (220)

Como estamos calculando uma função de onda, constantes multiplicativas não têm importância. Por isso, simplificamos para

$$y(x)=\int\frac{dz}{z^{n+1}}e^{xz-\frac{z^2}{4}}$$ (221)

Passemos agora à determinação do caminho de integração. Como vimos, ele deve ser tal que a função $ZQe^{zx}$ tenha o mesmo valor nos dois extremos. Essa função é, neste caso,

$$ZQe^{zx}=\frac{e^{zx-\frac{z^2}{4}}}{z^n}$$ (222)

Por argumentos físicos os casos de interesse são restritos a $n>-\frac{1}{2}$ (Veja nota¹⁶). Para esses valores os contornos $C_1$ e $C_2$ das figuras abaixo são adequados.

Seja $z=X+iY$. O termo dominante no integrando é $e^{-z^2}= e^{-(X^2-Y^2)}e^{i2XY}$. Para $Y$ pequeno em módulo, $e^{-X^2}$ garante que a função $V$ se anula nas extremidades de ambos os contornos. Se $n$ for um racional não inteiro, a origem $z=0$ será um ponto de ramificação, e haverá cortes ao longo do eixo real. Se o corte for tomado ao longo do semi-eixo real negativo, o primeiro contorno não é permitido (a curva atravessa o corte). O segundo é aceitável. A integração é complicada, e não garante que $y(x)$ seja um polinômio, como é requerido. Quando $n$ for inteiro, a situação é muito mais simples. Façamos, neste caso, a mudança de variável

$$z=2(x-u)$$

onde introduzimos a nova variável complexa $u$. Uma substituição simples mostra que

$$y(x)=-\frac{e^{x^2}}{2}\int_{C'}\frac{du}{(x-u)^{n+i}}e^{-u^2}$$ (223)

onde o novo contorno $C'$ é descrito na figura abaixo.

Que o contorno deve ser este, segue dos seguintes fatos:a transformação é linear; uma transformação linear transforma retas em retas e círculos em círculos¹⁷; a particular transformação acima inverte o sentido de percurso no contorno e leva pequenos valores da parte imaginária de $z$ em pequenos valores da parte imaginária de $u$; o ponto $z=0$ corresponde ao ponto $u=x$ no novo contorno. Para $n$ inteiro e $x\ne u$ o integrando não tem singularidades. Por isso, o contorno pode ser deformado para

A integral é, então,

$$y(x)=e^{x^2}\oint e^{-u^2}\frac{du}{(u-x)^{n+1}}$$ (224)

Ora,

$$\frac{n!}{2\pi i}\oint\frac{e^{-u^2}du}{(u-x)^{n+i}}=\frac{d^n}{dx^n}e^ {-x^2}$$

onde usamos a fórmula de Cauchy. Portanto,

$$y(x)=e^{x^2}\frac{2\pi i}{n!}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}\equiv y_n(x)$$ (225)

Mas, uma maneira de definir os polinômios de Hermite é:

$$H_n(x)=(-1)^ne^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}$$

Logo,

$$y_n(x)=K H_n(x)$$ (226)

onde $K$ é uma constante arbitrária, a ser determinada posteriormente pela normalização da função de onda.