A magia da equação de Laplace

Na eletrostática temos as equações básicas

$$rot \vec{E}=0$$ (165)

(que significa que a força eletrostática é conservativa) e, nas regiões onde não há cargas,

$$div \vec{E}=0\; .$$ (166)

A primeira dessas equações é equivalente a

$$\vec{E}=-grad\; \phi\; ,$$ (167)

onde $\phi$ é o potencial escalar. Usando 167 em 166, temos

$$div \; grad\; \phi =0$$ (168)

ou

$$\vec{\nabla}^2\phi=0$$ (169)

onde $\vec{\nabla}^2$ é o operador Laplaceano. A equação 169 é a famosa equação de Laplace. Boa parte de sua fama é devida a um poderoso teorema de existência e unicidade que é o tema principal dessas notas. Para demonstrar esse teorema precisamos do teorema do divergente.

Numa região onde há cargas, não vale a equação de Laplace, que é substituída pela equação de Poisson,

$$\vec{\nabla}^2\phi = -4\pi \rho$$ (170)

onde $\rho$ é a densidade volumétrica de carga. Por outro lado, generalizando a lei de Coulomb, vimos que

$$\phi(\vec{r})=\int d^3\vec{r'}\frac{\rho(\vec{r}')}{\vert\vec{r}-\vec{r}'\vert}\;,$$ (171)

e que, portanto, a Eq.(171) exibe uma solução da Eq.(170). De fato, (171) é a solução de (170) que se anula no infinito. Mais tarde vamos estudar o método inventado por George Green para obter este resultado trabalhando diretamente com a equação de Poisson.