Máximos e mínimos

Funções harmônicas, e, em particular, potenciais em regiões onde não há cargas, não podem ter máximos nem mínimos. A demonstração deste importante resultado é usualmente feita utilizando a segunda fórmula de Green. Seja $\Sigma$ uma superfície esférica com centro em $r=0$ , e $V$ o volume delimitado por ela. Seja $u$ uma função harmônica, e seja $v=\frac{1}{r}$, que é uma função harmônica exceto para $r=0$. A segunda fórmula de Green aplicada a essas funções $u$ e $v$ dá:

$$\int dV\left(u\vec{\nabla}^2\frac{1}{r}\right)= \int_{S}\left(u\vec{\nabla}\frac{1}{r}-\frac{1}{r}\vec{\nabla}u\right) .\vec{n}$$ (182)

Mas, na superfície esférica, onde a segunda integral é calculada, $r=R$, onde $R$, constante, é o raio da esfera. Logo,

$$\vec{\nabla}\frac{1}{r}=-\frac{1}{R^2}\frac{\vec{r}}{r}= -\frac{1}{R^2}\vec{n}$$ (183)

e, então,

$$\int dV\left(u\vec{\nabla}^2\frac{1}{r}\right)=-\frac{1}{R^2} \int dS u \vec{n}.\vec{n} = -\frac{1}{R^2}\int dS u$$ (184)

Mas (veja Apêndice),

$$\int dV u\vec{\nabla}^2\frac{1}{r}=-4\pi u(0)$$ (185)

logo,

$$u(0)=\frac{1}{4 \pi R^2}\int u dS$$ (186)

que está nos dizendo o seguinte: uma função harmônica tem, em qualquer ponto, como valor, a média dos valores que tem em uma superfície esférica qualquer centrada neste ponto (desde que contida na região em que a função é harmônica). Uma aplicação imediate é a seguinte: dada uma distribuição de cargas em repouso, não há pontos em que uma carga-teste permaneça em equilíbrio, a não ser aqueles pontos onde já existam cargas (e, por conseguinte, onde a equação de Laplace não seja satisfeita).