Teorema do divergente

Seja $\vec{W}$ um campo vetorial ``bem comportado'', $S$ uma superfície fechada, e $V$ o volume interno a esta superfície. Então,

$$\int dV div\,\vec{W} = \int_{S}\vec{W}.\vec{n}dS$$ (172)

onde $\vec{n}$ é a normal externa à superfície. Não vamos demonstrar este teorema, mas usá-lo para demonstrar outros. Trata-se de um teorema clássico da Análise. Uma demonstração moderna, usando a teoria das formas diferenciais exteriores encontra-se em [1], [2] ou [3]. Na aula apresentamos uma ``demonstração'' para o caso de um cubo, que serve para entender a idéia central, num caso simples. Para a demonstração clássica, o leitor não pode perder a oportunidade de consultar um dos grandes livros de todos os tempos, o Treatise on Electricity and Magnetism, de James Clerk Maxwell, ainda publicado pela Dover. Narrando uma das maiores descobertas de todos os tempos, a natureza eletromagnética da luz, esse livro, extraordinariamente bem escrito, mantém ainda uma grande vivacidade e supera de muito todos os epígonos modernos [4].

Na verdade, o teorema do divergente vale em situações mais gerais: considere uma esfera da qual se subtrai o volume de uma esfera concêntrica e menor. Seja $V$ o volume externo à esfera pequena e interno à grande; seja $\Sigma$ a superfície composta pela superfície da esfera interna orientada pela normal interna, denominada $\Sigma_1$, e pela superfície da esfera grande, orientada pela normal externa, denominada $\Sigma_2$. Então, vale a seguinte versão do teorema do divergente:

$$\int_{V}d^3\vec{r} div\vec{V}=\int_{\Sigma_1}\vec{V}.\vec{n}dS+ \int_{\Sigma_2}\vec{V}.\vec{n}dS.$$ (173)

É claro que as superfícies externa e interna não precisam ser esféricas, e que o número de superfícies componentes não se restringe a dois, podendo ser qualquer.