Teorema de unicidade

O grande poder da equação de Laplace está no fato de que, em certas condições, pode-se garantir a existência e a unicidade da solução. Assim, qualquer que seja o método pelo qual a solução é obtida, a solução é aquela, e nenhuma outra. Vamos demonstrar aqui a unicidade. O teorema de existência é difícil, e sua demonstração ajuda pouco na compreensão do problema. Suponhamos que $u$ seja harmônica no volume $V$, e tomemos $v=u$. Usando a Eq.(177) temos então

$$\int dV \vec{\nabla}u.\vec{\nabla}u = -\int dV u\vec{\nabla}^2u +\int_{S} u\vec{\nabla}u.\vec{n} dS$$ (180)

Logo,

$$\int dV \vert\vec{\nabla}u\vert^2 = \int u \vec{\nabla}u.\vec{n} dS$$ (181)

Uma conseqüência dessa fórmula é a seguinte: seja $u$ harmônica em $V$ e nula em $S$, que é a superfície que delimita $V$. Então $u$ é nula em $V$. De fato, $\int dV \vert\vec{\nabla}u\vert^2=0$ implica em $\vec{\nabla}u=0$ em $V$, e, portanto, $u = constante$ em $V$. Como $u$ é contínua, esta constante tem de ser zero, pois $u=0$ na superfície.

Sejam agora $f$ e $g$ duas funções harmônicas em $V$ e tais que $f=g$ na superfície que delimita este volume. Então, $f=g$ em todo o volume. De fato, basta aplicar o teorema anterior para a função $f-g$.

Chegamos assim ao enunciado do grande teorema de unicidade: se $f$ é uma solução da equação de Laplace que tem valores determinados sobre uma superfície fechada, $f$ é única. Um exemplo de aplicação deste teorema com relevância para a física é o seguinte: determinar uma função que satisfaça a equação de Laplace no interior de uma superfície fechada e que seja constante, igual a $C$, nessa superfície. Seja $f$ a função constante cujo valor é $C$. Ela é solução da equação de Laplace, e seu valor sobre a superfície fechada é $C$. Logo, pelo teorema de unicidade, esta função é a única função que satisfaz a equação de Laplace e vale $C$ na superfície considerada. Na física, o potencial eletrostático, em uma região onde não há cargas, é harmônico (satisfaz a equação de Laplace). Por outro lado, sabe-se que, no equilíbrio, o potencial sobre a superfície de um condutor é constante. Logo, como, dentro de um condutor, a carga é zero, temos que o potencial é constante, com aquele valor que ele assume na superfície. Segue como conseqüência que o campo elétrico é zero, no interior do condutor.