Rotações

Para entender por que certas combinações de derivadas, como o divergente de um vetor, e o laplaceano de um escalar, são importantes, é conveniente estudar um pouco o que acontece com um vetor, e quantidades relacionadas a ele, quando se executa uma rotação no sistema de eixos, passando de um triedro ortogonal a outro. Na natureza não existem eixos, de maneira que qualquer base que se utilize na descrição de quantidades físicas, só pode ter um papel auxiliar, assim como o andaime auxilia na construção de um prédio, mas é desnecessário para descrever as propriedades do prédio. Deve-se, por isso, esperar que as quantidades de real significado físico independam da escolha de eixo de coordenadas, ou dependam dela de uma maneira muito simples. Vamos iniciar por rotações muito simples: rotações planas.

A figura abaixo mostra um sistema de eixos no plano, formada por eixos nas direções dos vetores unitários $\vec{\i}$ e $\vec{\j}$, ortogonais. O vetor $\vec{r}$ tem, nesses eixos, as componentes $x$ e $y$, exibidas na figura. Passamos agora dos eixos iniciais para um novo sistema, girado em relação ao primeiro de um ângulo $\theta$. Os novos eixos são nas direções dadas pelos vetores $\vec{\i}^{\;\prime}$ e $\vec{\j}^{\;\prime}$, e são também ortogonais. As componentes de $\vec{r}$ em relação aos novos eixos são $x^{\prime}$ e $y^{\prime}$, mostradas na figura.

Vamos estabelecer as relações entre as componentes do vetor $\vec{r}$ no primeiro e no segundo sistemas de eixo. Elas são comumente chamadas de fórmulas de transformação das componentes de um vetor.

Embora seja possível obter essas fórmulas diretamente da figura, vamos dar aqui uma dedução algébrica detalhada. O vetor $\vec{r}$ pode ser expandido na base formada pelos vetores $\vec{\i}$ e $\vec{\j}$, dando

$$\vec{r} = (\vec{r}.\vec{\i})\vec{\i}+(\vec{r}.\vec{\j})\vec{\j}= x\vec{\i}+y\vec{\j} \; .$$ (11)

Pode também ser expandido na base formada por $\vec{\i}^{\;\prime}$ e $\vec{\j}^{\;\prime}$, dando

$$\vec{r} = (\vec{r}.\vec{\i}^{\; \prime})\vec{\i}^{\; \prime} +(\v... ...vec{\j}^{\; \prime}=x^{\prime}\vec{\i}^{\;\prime}+y^{\prime}\vec{\j}^{\;\prime}$$ (12)

Por outro lado, os vetores $\vec{\i}$ e $\vec{\j}$ podem ser expandidos na base formada por $\vec{\i}^{\;\prime}$ e $\vec{\j}^{\;\prime}$, obtendo-se

$$\vec{\i} = \left(\vec{\i}\;.\vec{\i}^{\;\prime}\right)\vec{\i}^{\;\prime} +\left(\vec{\i}\;.\vec{\j}^{\;\prime}\right)\vec{\j}^{\;\prime}$$

$$= \cos{\theta}\;\vec{\i}^{\;\prime}-\sin{\theta}\;\vec{\j}^{\;\prime}$$ (13)

$$\vec{\j} = \left(\vec{\j}\;.\vec{\i}^{\;\prime}\right)\vec{\i}^{\;\prime} +\left(\vec{\j}\;.\vec{\j}^{\;\prime}\right)\vec{\j}^{\;\prime}$$

$$= \sin{\theta}\;\vec{\i}^{\;\prime}+\cos{\theta}\;\vec{\j}^{\;\prime}$$ (14)

Usando estes resultados em (11) temos, com (12), duas expressões para $\vec{r}$ na base ( $\vec{\i}^{\;\prime}$, $\vec{\j}^{\;\prime}$). Igualando os coeficientes, obtemos

$$x^{\prime} = \cos{\theta}\;x + \sin{\theta}\;y$$ (15)

$$y^{\prime} = -\sin{\theta}\;x+\cos{\theta}\;y$$ (16)

Note-se que $\vec{r}$ é um vetor que não tem nada de especial. Por isso, seja $\vec{V}$ um vetor qualquer, e sejam ( $V_{x},\; V_{y}$) suas componentes na base ( $\vec{\i}, \; \vec{\j}$) e ( $V^{\prime}_{x},\; V^{\prime}_{y}$) suas componentes na base ( $\vec{\i}^{\;\prime},\;\vec{\j}^{\;\prime}$). Temos

$$V^{\prime}_{x} = \cos{\theta}\;V_{x}-\sin{\theta}V_{y}$$ (17)

$$V^{\prime}_{y} = \sin{\theta}\; V_{x}+\cos{\theta}\;V_{y}$$ (18)

As rotações têm uma propriedade especial que simplifica muito seu estudo: são transformações contínuas. Isto quer dizer que uma rotação de um ângulo $\theta$ finito, pode ser realizada por uma sucessão de um número enorme de rotações muito pequenas, até mesmo infinitesimais. Muitas vezes, para provar uma determinada propriedade das rotações, é suficiente prová-la, então, para rotações infinitesimais. Vamos usar esta técnica primeiro para o caso que já estudamos, rotações no plano. Depois, vamos, utilizando de novo esta técnica, passar ao estudo das rotações infinitesimais em três dimensões.

Na eq.(15), tomemos o caso em que $\theta$ é muito pequeno. Neste caso, $\cos{\theta}\approx 1$, e $\sin{\theta}\approx \theta$, de maneira que se obtém

$$x^{\prime} = x - \theta\;y$$ (19)

$$y^{\prime} = \theta \; x+y$$ (20)

Estas são as propriedades de transformação do vetor $\vec{r}$ sob uma rotação infinitesimal.