O operador diferencial $\vec{\nabla}$

Considere a expressão

$$\vec{\nabla} \equiv \frac{\partial}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial}{\partial y}\vec{j} +\frac{\partial}{\partial z}\vec{k}\;.$$ (2)

Como vimos, o gradiente de um campo escalar $\phi(x,y,z)$ pode ser escrito como $\vec{\nabla}\phi(x,y,z)$, entendendo-se esta notação como

$$\vec{\nabla}\phi(x,yz)=\left(\frac{\partial}{\partial x}\vec{i}+\... ...frac{\partial\phi}{\partial y}\vec{j} +\frac{\partial\phi}{\partial z}\vec{k}\$$ (3)

Seja agora $\vec{V}(x,y,z)$ um campo vetorial, e considere a expressão

$$\vec{\nabla}.\vec{V} \equiv \frac{\partial}{\partial x}\vec{i}.\vec{V}+\frac{\partial}{\partial y}\vec{j}.\vec{V}+ \frac{\partial}{\partial z}\vec{k}.\vec{V}$$ (4)

$$= \frac{\partial V_{x}}{\partial x}+\frac{\partial V_{y}}{\partial y} +\frac{\partial V_{z}}{\partial z}$$ (5)

cujo resultado é um campo escalar. Este campo escalar, $\vec{\nabla}.\vec{V}$, é denominado ``divergente de $\vec{V}$'', e, veremos, tem também uma grande importância na descrição física (e matemática) dos campos vetoriais.