Exemplos e exercícios

1. Considere o campo vetorial $\vec{r}(x,y,z)$, definido por

$$\vec{r}(x,y,z)=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$$ (6)

Podemos calcular o $\vec{\nabla}.\vec{r}$, também denotado por $div(\vec{r})$.

$$div(\vec{r})=\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial z}=1+1=1=3$$ (7)

2. O campo vetorial $\vec{V}(x,y,z)= \vec{\nabla}\phi(x,y,z)$ tem o divergente

$$div\vec{V}=\frac{\partial V_{x}}{\partial x}+\frac{\partial V_{y}}{\partial y}+\frac{\partial V_{z}}{\partial z}$$ (8)

mas, como

$$V_{x} = \frac{\partial \phi}{\partial x}$$

$$V_{y} = \frac{\partial \phi}{\partial y}$$

$$V_{z} = \frac{\partial \phi}{\partial z}$$

obtemos

$$\vec{\nabla}.\vec{V}=\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}$$ (9)

Esta última expressão é chamada laplaceano de $\phi$, e é, talvez, o operador diferencial mais importante de todos. Usaremos para ele a notação $\vec{\nabla}^2\phi$. Encontra-de também, mas já está um pouco fora de moda, a notação $\bigtriangleup \phi$. Assim,

$$\vec{\nabla}.\vec{\nabla}\phi=\vec{\nabla}^2\phi=\bigtriangleup \... ...x^2}+ \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}$$ (10)

3.(Exercício) Seja $\vec{V}(x,y,z)$ um campo vetorial, e $\phi(x,y,z)$ um campo escalar. Mostre que

$$div(\phi \vec{V})=\phi\; div\vec{V}+ \vec{\nabla}\phi\;.\vec{V}$$

4.(Exercício) Utilize essa fórmula para calcular

$$div\left(\frac{\vec{r}}{r}\right)$$

onde $r \equiv \vert\vec{r}\vert$. (Resp: $\frac{2}{r}$).