Rotações em 3 dimensões

Uma rotação infinitesimal em três dimensões é definida como uma transformação linear

$$x^{\prime}_{i}=\sum_{j}(\delta_{ij}+\omega_{ij})x^{j} i,j=1,2,3.$$ (68)

tal que

$$\sum_{i} x^{\prime}_{i}x^{\prime}_{i}=\sum_{j}x_{j}x_{j}$$ (69)

Também neste caso a condição necessária e suficiente para que (68) seja uma rotação é que

$$\omega_{ij}=-\omega_{ji}$$ (70)

e o bonito é que a demonstração é exatamente a mesma! Podem-se usar, passo a passo, as mesmas equações que no caso de duas dimensões. Melhor, a demostração continua válida para um número qualquer de dimensões! A única coisa que muda é o número de valores que os íindices assumem, mas este número não desempenhou qualquer papel da demonstração.

Para resumir: quando se realiza, sobre o sistema de eixos, uma rotação infinitesimal, caracterizada pelos parâmetros infinitesimais $\omega_{ij}=-\omega_{ji}$, as coordenadas de um ponto fixo do espaço se transformam assim:

$$x^{\prime}_{i}=x_{i}+ \sum_{j}\omega_{ij}x_{j}$$ (71)

As componentes de um vetor fixo do espaço, sob esta mesma rotação, transformam-se assim:

$$V^{\prime}_{i} = V_{i}+\sum_{j}\omega_{ij}V_{j}$$ (72)

Exercício: mostrar que o produto escalar de dois vetores é invariante sob rotações:

$$\vec{V}.\vec{W} = \sum_{i}V^{\prime}_{i}W^{\prime}_{i}$$ (73)

$$= \sum_{i}\left(V_{i}+\sum_{j}\omega_{ij}V_{j}\right) \left(W_{i}+\sum_{k}\omega_{ik}W_{k}\right)$$ (74)

$$= \sum_{i}V_{i}W_{i}+\sum_{i}\sum_{j}\omega_{ij}W_{i}V_{j}+ \sum_{i}\sum_{k}\omega_{ik}V_{i}W_{k}$$ (75)

$$= \sum_{i}V_{i}W_{i}+ \sum_{i}\sum_{j}(\omega_{ij}+\omega_{ji})W_{i}V_{j}$$ (76)

$$= \sum_{i}V_{i}W_{i}$$ (77)

Exercício: dada a transformação infinitesimal

$$x^{\prime} = x_{i}+\sum_{j}\omega_{ij}x_{j}$$ (78)

determinar a transformação inversa.
A inversa é

$$x_{i}=x^{\prime}_{i}-\sum_{j}\omega_{ij}x^{\prime}_{j}$$ (79)

A verificação é imediata.

Exercício: determinar a transformação nas derivadas parciais das coordenadas, por uma rotação infinitesimal.
Pela regra da cadeia, temos

$$\frac{\partial}{\partial x^{\prime}_{i}}=\sum_{j}\frac{\partial x_{j}}{\partial x^{\prime}_{i}}\frac{\partial}{\partial x_{j}}$$ (80)

Como

$$x_{j}=x^{\prime}_{j}-\omega_{ji}x^{\prime}_{i}$$ (81)

temos

$$\frac{\partial x_{j}}{\partial x^{\prime}_{i}}=\delta_{ij}- \omega_{ji}$$

e, portanto,

$$\frac{\partial }{\partial x^{\prime}_{i}}=(\delta_{ij}-\omega_{ji... ...j}}=\frac{\partial}{\partial x_{i}}- \omega_{ji}\frac{\partial}{\partial x_{j}}$$ (82)

É conveniente lembrar aqui a fórmula de transformação de um vetor, sob rotações infinitesimais:

$$A^{\prime}_{i} = A_{i}+\omega_{ij}A_{j}$$ (83)

Vamos agora achar a fórmula de transformação da seguinte quantidade:

$$\sum_{i}\frac{\partial A^{\prime}_{i}}{\partial x^{\prime}_{i}}$$

A expressão acima não é outra coisa que o divergente de $\vec{A}$ calculado no referencial em que as coordenadas são $x^{\prime}_{i}$. Ora,

$$\sum_{i}\frac{\partial A^{\prime}_{i}}{\partial x^{\prime}_{i}} = \sum_{i,j,l}\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}-\omega_{ji}\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right) \left(A_{i}+\omega_{il}A_{l}\right)$$

$$= \sum_{i,j,k}\left(\frac{\partial A_{i}}{\partial x_{i}}- \omega_{... ... A_{i}}{\partial x_{i}}+\omega_{il}\frac{\partial A_{l}}{\partial x_{i}}\right)$$

$$= \sum_{i}\frac{\partial A_{i}}{\partial x_{i}}- \sum_{ij}\omega_{j... ...{i}}{\partial x_{j}} +\sum_{ij}\omega_{ji}\frac{\partial A_{i}}{\partial x_{j}}$$

$$= \sum_{i}\frac{\partial A_{i}}{\partial x_{i}}$$ (84)

onde, dentro das regras de tratamento de transformações infinitesimais, desprezamos termos onde $\omega$ aparecia ao quadrado.

A eq.(84) relata um fato muito importante: o divergente de um campo vetorial é um invariante: aquela particular combinação de componentes do campo e de derivadas parciais que o definem num sistema, definem-no em qualquer sistema, e o valor da expressão é o mesmo. Ou seja, o divergente de um campo vetorial não depende do sistema de coordenadas utilizado. Pelos nossos argumentos anteriores, temos o direito de esperar que o divergente de um campo vetorial seja uma quantidade física importante.⁴.