Conceito geral de tensor

Vamos passar agora a um grau maior de generalidade, abrindo mão da existência de coordenadas cartesianas. Os resultados serão então a extensão necessária do conceito de vetor (e, mais geralmente, tensor) para espaços não-euclideanos (ou para coordenadas curvilíneas em qualquer espaço). Sejam $x^\mu$ ($\mu$=1,2...n) as coordenadas de um ponto $P$ em um certo sistema de coordenadas $S$. Suponhamos que em um outro sistema de coordenadas $S'$, as coordenadas do mesmo ponto $P$ sejam $x'^{\mu}$. Então

$$\ x'^{\mu}=x'^{\mu}(x^{\lambda})$$ (66)

é a função que transforma as coordenadas de $P$ em $S$ nas coordenadas de $P$ em $S'$. Tanto $x^{\lambda}(P)$ quanto $x'^{\mu}(P)$ são funções do ponto. Seja $dx^{\mu}$ a diferencial da função $x^{\mu}(P)$. Sabe-se que ela se transforma, por mudança de variáveis (aqui chamadas de coordenadas), da maneira seguinte:

$$\ dx'^{\mu}=\frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{\lambda}}dx^{\lambda}$$ (67)

Definição : chama-se vetor contravariante ao ente matemático caracterizado por componentes $A^{\mu}$ que, por uma mudança de coordenadas $x \rightarrow x'$, se transformam em $A'^{\mu}$ da seguinte forma:

$$\ A'^{\mu}=\frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{\lambda}} A^{\lambda}$$ (68)

isto é, da mesma forma que a diferencial das coordenadas de um ponto. Sejam agora $\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}$ as componentes do operador gradiente no sistema de coordenadas $S$. No $S'$, serão escritas

$$\ \frac{\partial}{\partial x'^{\mu}}=\frac{\partial x^{\lambda}}{\partial x'^{\mu}} \frac{\partial}{\partial x^{\lambda}}$$ (69)

e a matriz de transformação é a inversa da matriz de transformação das componentes de vetores contravariantes.
Definição : chama-se vetor covariante ao ente caracterizado por componentes $B_{\mu}$ que se transformam, por mudanças de coordenadas, em $B'^{\mu}$ da forma seguinte:

$$\ B'_{\mu}=\frac{\partial x^{\lambda}}{\partial x'^{\mu}}B_{\lambda}$$ (70)

isto é, como as componentes do gradiente.



REGRA IMPORTANTE: COMPONENTES CONTRAVARIANTES, ÍNDICE EM CIMA; COMPONENTES COVARIANTES, ÍNDICE EM BAIXO!