``Macetes''

Considere o produto de um vetor $v^{\mu}$ por um tensor $T_{\alpha \beta}$ as componentes são

$$\ v^{\mu}T_{\alpha \beta}$$ (75)

que é uma quantidade com 3 índices. Não estudamos essas quantidades, mas são tensores de terceira ordem. A ordem é dada pelo número de índices. Agora vamos contrair³ os índices $\mu$ e $\alpha$. Temos então as quantidades

$$\ v^{\mu}T_{\mu \beta}$$ (76)

havendo, é claro, uma soma sobre os $\mu$. Pois bem, essas quantidades são, agora, componentes de um vetor covariante! De fato (o leitor pode provar isso, ou então olhar da Ref.([1])), o que determina a natureza tensorial da quantidade é o número de índices não contraídos. Assim, $T^{\mu \nu}T_{\mu \nu}$ é um invariante, pois não tem nenhum índice não contraído.