Mais sobre o tensor métrico

No caso do espaço euclideano 3-dimensional com coordenadas cartesianas ortogonais,

$$\ ds^2=(dx^1)^2+(dx^2)^2+(dx^3)^2$$ (86)

isto é, em coordenadas cartesianas $g_{ij} = \delta_{ij}$. Descrevendo o mesmo espaço com coordenadas esféricas

$$\begin{eqnarray*} x^1 & = & r\sin{\theta}\cos{\phi}\\ x^2 & = & r\sin{\theta}\sin{\phi}\\ x^3 & = & r\cos{\theta} \end{eqnarray*}$$

e chamando $(r, \theta, \phi)$, nessa ordem, de $(\overline{x}^1, \overline{x}^2,\overline{x}^3)$, temos, como $g_{ij}$ é um tensor,

$$\begin{eqnarray*} \overline{g}_{lm} & = & \frac{\partial x^i}{\partial \overlin... ...l \overline{x}^l} \frac{\partial x^i}{\partial \overline{x}^m} \end{eqnarray*}$$

Obtivemos, então, uma fórmula para calcular o tensor métrico para quaisquer corrdenadas, a partir de seus valores em coordenadas cartesianas. Para coordenadas esféricas,

$$\ \overline{g}_{11}=\frac{\partial x^1}{\partial \overline{... ...l \overline{x}^1}\frac{\partial x^3}{\partial \overline{x}^1}$$ (87)

ou seja,

$$\ \overline{g}_{11}=\sin^2{\theta}\cos^2{\phi}+ \sin^2{\theta}\sin^2{\phi}+\cos^2{\theta}=1$$ (88)

Por um cálculo análogo chega-se a

$$\overline{g}_{22} = r^2$$ (89)

$$\overline{g}_{33} = r^2\sin^2{\theta}$$ (90)

Então o elemento de linha em coordenadas esféricas é

$$\ ds^2=dr^2+r^2d\theta^2+r^2\sin^2{\theta}d\phi^2$$ (91)