Transformações de coordenadas

Introduzindo novos vetores unitários $\underline{\vec{e}}_1$ e $\underline{\vec{e}}_2$, obtidos dos anteriores por uma rotação de um certo ângulo $\theta$, e traçando novos eixos nas direções desses vetores, teremos também novas componentes para um vetor qualquer.

Suponhamos que os vetores unitários originais se expressem em termos dos novos por

$$\ \vec{e}_i=\underline{\vec{e}}_r a_i^{\; r}$$ (57)

Então,

$$\ \vec{x}=x^i\vec{e}_i=x^ia_i^{\;r}\underline{\vec{e}}_r=\underline{x}^r\underline {\vec{e}}_r$$ (58)

onde $\underline{x}^r$ são as componentes do vetor $\vec{x}$ em relação aos novos eixos, na direção dos novos vetores unitários. Segue daí que

$$\ \underline{x}^r=a_i^{\;r}x^i$$ (59)

que dá a fórmula da transfromação para as componentes contravariantes de um vetor. Seja agora $b_r^{\;i}$ a matriz inversa de $a_i^{\;r}$, isto é, a matriz para a qual

$$\ b_r^{\;i}a_i^{\;l}=\delta_i^l$$ (60)

Então, como se verifica facilmente,

$$\ \underline{\vec{e}}_r=b_r^{\;i}\vec{e}_i$$ (61)

e

$$\ \underline{x}_r=(\vec{x}.\underline{\vec{e}}_r)=(\vec{x}.b_r^{\;i}\vec{e}_i) =b_r^{\;i}(\vec{x}.\vec{e}_i)=b_r^{\;i}x_i$$ (62)

logo,

$$\ \underline{x}_r=b_r^{\;i}x_i$$ (63)

Isto é, as componentes covariantes se transformam pela matriz inversa² da matriz de transformação das componentes covariantes. Por isso,

$$\ \underline{x}^r\underline{x}_r=a_i^{\;r}x^ib_r^{\;l}x_l=a_i^{\;r}b_r^{\; l}x^ix_l =\delta_i^lx^ix_l=x^ix_i$$ (64)

isto é, combinações do tipo covariante-contravariante são invariantes. Isto era de se esperar, pois

$$\ x^ix_i=g_{il}x^ix^l$$ (65)

é o quadrado do módulo do vetor de componentes $x^i$, e isto não pode depender de que tipo de coordenadas se usa.