Tensores

Tensores de segunda ordem são, essencialmente, um certo produto de dois vetores, como vimos no exemplo do tensor momento de inércia. Tensores de ordem $n$ são produtos de $n$ vetores. Essas quantidades aparecem naturalmente na física. Por exemplo, a curvatura do espaço-tempo, que, segundo Einstein, é o campo gravitacional, é um tensor de quarta ordem. No caso geral, onde não se usam coordenadas cartesianas ortogonais, um tensor de segunda ordem pode ser covariante, contravariante ou misto. Chama-se tensor de segunda ordem 2 vezes contravariante ao ente caracterizado pelas componentes $T_{\mu \nu}$ que se transformam, por mudança de coordenadas, da forma seguinte:

$$\ T'^{\mu \nu}=\frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{\lambda... ...rac{\partial x'^{\nu}}{\partial x^{\omega}}T^{\lambda \omega}$$ (71)

isto é, como o produto de dois vetores contravariantes. Um tensor de segunda ordem é duas vezes covariante quando suas componentes se transformam assim:

$$\ T'_{\mu \nu}=\frac{\partial x^{\lambda}}{\partial x'^{\mu... ...rac{\partial x^{\omega}}{\partial x'^{\nu}}T_{\lambda \omega}$$ (72)

ou seja, como o produto de dois vetores covariantes.
Finalmente, um tensor de segunda ordem é uma vez covariante e uma vez contravariante quando suas componentes se transformam como o produto de um vetor covariante por um vetor contravariante, isto é, quando

$$\ T_{\mu}^{'\nu}=\frac{\partial x'^{\nu}}{\partial x^{\lamb... ...c{\partial x^{\omega}}{\partial x'^{\mu}}T_{\omega}^{\lambda}$$ (73)

Um tensor de ordem 1 é um vetor. Um tensor de ordem zero é um escalar, ou invariante. Um exemplo d einvariante: sejam $A^{\mu}$ as componentes de um vetor contravariante; $B_{\mu}$ as de um vetor covariante. Considere o produto ``contraído'' $A^{\mu}B_{\mu}$:

$$\ A^{'\lambda}B'_{\lambda}=\frac{\partial x'^{\lambda}}{\pa... ...a_{\alpha}^{\; \beta}A^{\alpha}B_{\beta}=A^{\alpha}B_{\alpha}$$ (74)

O produto ``contraído''(isto é, com todos os índices repetidos) de um vetor covariante por um contravariante é um invariante. Este é o caso particular mais simples de uma técnica geral de construir invariantes: contrair todos os índices de uma expressão tensorial. Veremos outros exemplos.