Um exemplo importante

Consideremos as transformações lineares homogêneas que mantêm invariante a distância euclideana

$$\ g_{\mu \nu}x^{\mu}x^{\nu}=x^{\mu}x_{\mu}= (x^1)^2+(x^2)^2+...+(x^n)^2$$ (92)

A primeira coisa a notar é que $g_{\mu \nu}=\delta_{\mu \nu}$. Em conseqüência ,

$$\ x_{\mu}=g_{\mu \nu}x^{\nu}=\delta_{\mu \nu}x^{\nu}=x^{\mu}$$ (93)

ou seja, as componentes contravariantes e as covariantes coincidem. Restringindo-nos apenas a bases ortonormais, temos ainda que $g_{\mu \nu}=g_{\mu \nu}'$, ou seja, as componentes do tensor métrico são sempre as mesmas, em qualquer base (ortonormal). Por outro lado, a fórmula geral de transformação dessas componentes é:

$$\ g_{\mu \nu}=g_{\alpha \beta}'a^{\alpha}_{\mu}a^{\beta}_{\nu}$$ (94)

onde os $a^{\alpha}_{\beta}$ são os coeficientes de transformação das coordenadas de um sistema para o outro, isto é:

$$\ x^{'u}=a^{\mu}_{\lambda}x^{\lambda}$$ (95)

A Eq.(94) pode então ser escrita

$$\ \delta_{\mu \nu}=\delta_{\alpha \beta}a^{\alpha}_{\mu}a^{... ...} =a^{\beta}_{\mu}a^{\beta}_{\nu}=a_{\beta \mu}a_{\beta \nu}$$ (96)

ou ainda

$$\ \delta_{\mu \nu}=(^ta)_{\mu \beta}(a)_{\beta \nu}= (^ta a)_{\mu \nu}$$ (97)

que quer dizer que

$$\ ^ta\;a=1$$ (98)

como matrizes. A matriz $a$ é, então, ortogonal, resultado que já havíamos obtido anteriormente, de outra forma.