As desigualdades de Heisenberg

Nesta seção vamos apresentar um tratamento formal do princípio da incerteza, e deduzir as famosas desigualdades de Heisenberg. A mais famosa delas é:

$$\Delta p_i \Delta q_j = -i\hbar \delta_{ij}$$ (182)

Em todo espaço dotado de um produto escalar, vale a desigualdade de Cauchy-Schwartz, que diz que

$$\vert(\psi,\phi)\vert^2 \leq \vert\psi\vert^2\vert\phi\vert^2$$ (183)

ou, mais explicitamente,

$$\left(\int dq \psi^*(q)\phi(q)\right)^2 \leq \int dq \psi^*(q)\psi(q) \int dq \phi^*(q)\phi(q)$$ (184)

Seja $\hat{O}$ um operador hermiteano, e $\psi$ um estado do sistema. Considere o operador

$$\hat{O}-\langle \hat{O}\rangle \hat{1}$$

onde

$$\langle \hat{O} \rangle = (\psi, \hat{O}\psi)=\int dq \psi^*(q)\hat{O}\psi(q)$$

Chama-se desvio padrão de $\hat{O}$ no estado $\psi$ o número

$$(\Delta O)^2 = \langle (\hat{O}-\langle \hat{O}\rangle)^2\rangle$$ (185)

Entre os físicos, $\Delta O$ é denominada incerteza de $\hat{O}$ no estado $\psi$. Sejam $\hat{A}$ e $\hat{B}$ operadores hermiteanos, e

$$\psi_{A} = (\hat{A}-\langle \hat{A}\rangle)\psi$$ (186)

$$\psi_{B} = (\hat{B}-\langle \hat{B}\rangle)\psi$$ (187)

dois estados. É imediato verificar que

$$(\Delta A)^2 = (\psi_{A},\psi_{A})$$ (188)

$$(\Delta B)^2 = (\psi_{B}, \psi_{B})$$ (189)

Pela desigualdade de Cauchy-Schwartz, temos

$$\Vert\psi_{A}\Vert^2 \Vert\psi_{B}\Vert^2 \geq \vert(\psi_{A},\psi_{B})\vert^2$$ (190)

Por outro lado, para qualquer complexo $z$, temos

$$\vert z\vert^2 = \left(\Im(z)\right)^2+\left(\Re(z)\right)^... ...q \left(\Im(z)\right)^2 = \left(\frac{1}{2i}(z-z^*)\right)^2$$

Logo,

$$\vert(\psi_{A},\psi_{B})\vert^2 \geq \left(\frac{1}{2i}\left[(\psi_{A},\psi_{B})-(\psi_{B},\psi_{A})\right]\right)^2$$

Ora,

$$(\psi_{A}, \psi_{B}) = \left((\hat{A}-\langle \hat{A}\rangle)\psi, (\hat{B}-\langle \hat{B} \rangle)\psi\right)$$

$$=(\psi,\hat{A}\hat{B}\psi)-\langle \hat{B}\rangle(\psi,\ha... ...i,\hat{B}\psi)+\langle \hat{A}\rangle \langle \hat{B}\rangle$$

Segue imediatamente que

$$(\psi_{A},\psi_{B})-(\psi_{B},\psi_{A})=\left(\psi,[\hat{A},\hat{B}]\psi\right)$$ (191)

e, da Eq.(191), que

$$\Vert\psi_{A}\Vert^2 \Vert\psi_{B}\Vert^2 \geq \left(\frac{1}{2i}\rangle[\hat{A},\hat{B}]\rangle \right)^2$$ (192)

ou, em notação mais familiar,

$$(\Delta A)^2(\Delta B)^2 \geq \left(\frac{1}{2i}\langle [\hat{A},\hat{B}]\rangle\right)^2$$ (193)

que são as relações de incerteza de Heisenberg.
Exemplo: seja $\hat{A}=\hat{p}_x$, e $\hat{B} = \hat{x}$. Então,

$$(\Delta p_x)^2(\Delta x)^2 \geq \left(\frac{1}{2i}\langle -i\hbar\rangle\right)^2$$

$$(\Delta p_x)^2 (\Delta x)^2 \geq \frac{\hbar ^2}{4}$$

e, finalmente,

$$\Delta p_x \Delta x \geq \frac{\hbar}{2}$$

Exercício: determine $\Delta p_x$ e $\Delta x$ para o estado fundamental do átomo de hidrogênio. Mostre que:
(a) $\Delta p_x = \frac{\hbar}{\sqrt{3} a_0}$.
(b) $\Delta x = \sqrt{2} a_0$.
(c) $\Delta p_x \Delta x = \frac{2}{3}\hbar$
(d) Conclua que o movimento do elétron é $\approx$ o mínimo possível compatível com as relações de incerteza.