O átomo de Hidrogênio

O núcleo do átomo de hidrogênio é cerca de 2000 vezes mais pesado do que um elétron. Por isso se pode ignorar o movimento do núcleo e descrever o átomo simplesmente como um elétron movendo-se com energia potencial $V(r) = -\frac{Ze^2}{r}$. A Eq.(135) é então escrita

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2u}{dr^2}+\left[\frac{\hbar^2 l(l+1)} { 2mr^2} -\frac{Ze^2}{r}\right]u(r)=Eu(r)$$ (136)

Note-se que esta equação descreve mais do que o átomo de hidrogênio: a interação de um elétron com um campo coulombiano possui também casos em que o elétron não permanece nas proximidades do núcleo, mas afasta-se indefinidamente dele: trata-se do espalhamento de um elétron por um campo coulombiano. Aqui vamos estudar apenas os estados ligados do elétron: aqueles em que ele está preso ao núcleo, formando um átomo. O que caracteriza esses estados, na Eq.(136), é que eles possuem energia negativa. Portanto, estudaremos as soluções do problema de autovalores dado pela Eq.(136), com $E<0$, e, portanto, $E=-\vert E\vert$. É conveniente introduzir variáveis adimensionais. Substituiremos $r$ por

$$\rho = \frac{\sqrt{8m\vert E\vert}}{\hbar}\;r$$ (137)

e a energia, ou, antes, o seu inverso, por

$$\lambda = \sqrt{\frac{m}{2\vert E\vert}}\;\frac{Ze^2}{\hbar}$$ (138)

Deixamos ao leitor a tarefa de verificar que, efetivamente, $\rho$ e $\lambda$ são quantidades adimensionais. Verifica-se facilmente que

$$\frac{d^2u}{dr^2}=\frac{8m\vert E\vert}{\hbar^2}\frac{d^2u}{d\rho ^2}$$

e que a Eq.(136) pode ser reescrita como

$$-\frac{d^2u}{d\rho ^2}+\frac{l(l+1)}{\rho ^2}u -\frac{Ze^2}{\hbar} \sqrt{\frac{m}{2\vert E\vert}}u = -\frac{1}{4}u$$ (139)

ou, finalmente,

$$\frac{d^2 u}{d\rho ^2}-\frac{l(l+1)}{\rho ^2}u + \left[\frac{\lambda}{\rho}-\frac{1}{4}\right]u=0$$ (140)

Resolver este problema de autovalores consiste em determinar os pares $(u, \lambda)$ submetidos à condição de que

$$\lim_{r\rightarrow \infty}\; u(r)=0$$

que corresponde ao fato de que o átomo tem dimensões finitas. Para resolver este problema utilizaremos uma técnica devida a Sommerfeld. Em primeiro lugar, estudaremos que tipos de comportamento assintótico, para $\rho$ grande, as soluções de Eq.(140) podem ter. Note-se que a equação

$$\frac{d^2 u}{d\rho^2}-\frac{1}{4}u=0$$ (141)

coincide com a Eq.(140) para grandes valores de $\rho$. Podemos, portanto, afirmar que as soluções de Eq.(141) devem coincidir com o limite, para grandes $\rho$, das soluções da Eq.(140).