Lentes esféricas

No tratamento elementar da ótica geométrica obtém-se, por constrções geométricas utilizando a lei de Snell-Descartes, a equação

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{f}$$ (42)

sendo $a$ a distância do objeto à lente (supostamente de espessura desprezíivel), $b$ a distância da imagem à lente, e $f$ a distância focal da lente, que é dada por

$$\frac{1}{f}=(n-1)(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2})$$

sendo $n$ o íindice de refração do vidro, $R_1$ e $R_2$ os raios das superfíicies esféricas da lente. O significado de $f$ pode ser obtido facilmente da Eq.(42): tomando-se $a=\infty$, tem-se

$$\frac{1}{b}=\frac{1}{f}$$ (43)

que mostra ser $f$ a distância a que se forma a imagem quando o objeto está no infinito. Na Eq.(42) a lente é suposta de espessura zero, e a distância à lente é confundida com a distância ao centro da lente.

Vamos tratar esse problema com o uso da equação do eikonal. Não haverá qualquer dificuldade em tratar o caso de lentes espessas, e o caminho estará aberto também para o tratamento de lentes cujas faces não sejam superfícies esféricas. O ponto $P$ da figura designa a posição do objeto, de coordenadas $x=0$, $y=0$ e $z=0$. O eixo $z$ é a direção de incidência: é a reta que une $P$ ao centro da lente, $O$.

Um raio partido de $P$ e incidente sobre a lente, encontra-a no ponto $T$, pertencente a uma superfície esférica de raio $R_1$ (a primeira face da lente). O centro dessa superfície esférica está no ponto de coordenadas $x=0$, $y=0$, $z=a+R_1$. As coordenadas de $T$ são $x=0$, $y=0$, $z=a$. Um ponto vizinho à lente tem coordenada $z=a+\zeta$, com $\vert a\vert\gg\vert\zeta\vert$ As ondas esféricas emitidas de $P$ têm o eikonal

$$s=nr=n\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$ (44)

com $n=1$ (região externa à lente), ou seja, mais explicitamente,

$$s=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$ (45)

Perto da primeira face da lente o eikonal é

$$S=\sqrt{x^2+y^2+(a+\zeta)^2}$$

Restringindo-nos a pequenas aberturas, basta considerar valores pequenos de $x$ e $y$. Então,

$$S = \sqrt{(a+\zeta)^2+x^2+y^2} = \sqrt{(a+\zeta)^2(1+\frac{x^2+y^2}{(a+\zeta)^2})}$$ (46)

$$= (a+\zeta)\sqrt{1+\frac{x^2+y^2}{(a+\zeta)^2}}\approx(a+\zeta)(1+\frac{x^2+y^2}{2(a+\zeta)^2})$$

ou seja,

$$S=a+\zeta+\frac{x^2+y^2}{2a}$$ (47)

A equação da superfície da primeira face da lente é

$$x^2+y^2+(z-a-R_1)^2=R_1^2$$ (48)

Podemos agora resolver o problema da primeira refração na lente.