A primeira refração

A figura mostra um raio saindo de $P$ e incidindo sobre a lente, e o raio refratado (que existe só dentro da lente). Prolongando-se o raio refratado até que atinja o eixo da lente, determina-se o ponto $Q_1$. Esse raio, $TQ_1$, existiria se a propagação se desse num meio homogêneo de índice de refração igual ao da lente, $n$. O eikonal do raio refratado é, então,

$$S=n\sqrt{x^2+y^2+(z-a+r)^2}$$ (49)

pois as coordenadas de $Q_1$ são $x=0$, $y=0$, $z=-(r-a)$. Para pontos próximos à primeira face da lente temos $z=a+\zeta$, com $\vert a\vert\gg\vert\zeta\vert$. Então,

$$S=n\sqrt{x^2+y^2+(r+\zeta)^2}$$ (50)

ou, aproximadamente,

$$S=n(r+\zeta+\frac{x^2+y^2}{2r})+S_0$$ (51)

onde $S_0$ é uma constante. Em geral essa constante aditiva é desnecessária, embora esteja sempre presente, já que, sendo a equação do eikonal uma equação para $\vec{\nabla}S$, se um $S$ é solução, $S+S_0$ também o será, $S_0$ sendo uma constante arbitrária. Neste problema que estamos estudando, imporemos a continuidade do eikonal numa determinada superfície, e, para isso ser possível, é necessário incluir o $S_0$. A condição de contorno é que o eikonal (a fase!) varie continuamente ao atravessar a face da lente. Se isto não lhe parece intuitivo, note que é sob essa condição que se obtém a lei de Snell-Descartes para a refração numa superfície plana, o que pode ser considerado uma ``verificação experimental'' do fato. Para pequenas aberturas os pontos que satisfazem a Eq.(48) da superfície são tais que

$$x^2+y^2+(\zeta-R_1)^2=R_1^2$$ (52)

ou, como $R_1\gg\vert\zeta\vert$,

$$x^2+y^2+R_1^2(1-\frac{\zeta}{R_1})^2=R_1^2$$ (53)

ou ainda,

$$\zeta=\frac{x^2+y^2}{2R_1}$$ (54)

Devemos ter a coincidência dos dois eikonais sobre a superfície da lente. Então,

$$\{a+\zeta+\frac{x^2+y^2}{2a}\}_{Sup}=\{n(r+\zeta+ \frac{x^2+y^2}{2r})+S_0\}_{Sup}$$ (55)

que leva a

$$a+\frac{x^2+y^2}{2R_1}+\frac{x^2+y^2}{2a}=nr+S_0+n\frac{x^2+y^2}{2R_1} +n\frac{x^2+y^2}{2r}$$ (56)

ou seja,

$$S_0+nr=a$$ (57)

e

$$\frac{1}{2R_1}+\frac{1}{2a}=\frac{n}{2R_1}+\frac{n}{2r}$$ (58)

ou ainda

$$\frac{n-1}{R_1}=\frac{1}{a}-\frac{n}{r}$$ (59)

Esta equção resolve o problema da refração por um dioptro esférico.