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A segunda refração





\begin{picture}(300,100)(0,0)
\CArc(150,75)(50,143,217) \CArc(70,75)(50,323,37)...
...(145,70)(0)[t]{b}\DashLine(70,40)(100,40){2}\PText(65,40)(0)[b]{r}
\end{picture}
A equação da segunda face, se $R_2$ é o seu raio e $C$ o seu centro, é
\begin{displaymath}
(x-x_{C})^2+(y-y_{C})^2+(z-z_{C})^2=R_2^2
\end{displaymath} (60)

ou
\begin{displaymath}
x^2+y^2+(z-(R_2-a-d))^2=R_2^2
\end{displaymath} (61)

Para pontos próximos à segunda face, temos

\begin{displaymath}
z=a+d+\zeta
\end{displaymath}

com $\vert\zeta\vert\ll \vert a+d\vert$. Então,
\begin{displaymath}
x^2+y^2+(a+d+\zeta=(a+d-R_2))^2=R_2^2
\end{displaymath} (62)

ou
\begin{displaymath}
x^2+y^2+(\zeta+R_2)^2=R_2^2
\end{displaymath} (63)

e, usando o fato de que $\vert\zeta\vert$ é pequeno,
\begin{displaymath}
x^2+y^2+R_2^2(1+\frac{2\zeta}{R_2})^2=R_2^2
\end{displaymath} (64)

e, finalmente,
\begin{displaymath}
x^2+y^2+2\zeta R_2=0
\end{displaymath} (65)

que podemos por na forma
\begin{displaymath}
\zeta=-\frac{x^2+y^2}{2R_2}
\end{displaymath} (66)

O eikonal do segundo raio refratado é
\begin{displaymath}
S=-\sqrt{x^2+y^2+(z-z_{O_2})^2}
\end{displaymath} (67)

onde $z_{O_2}=a+d+b$, o que dá
\begin{displaymath}
S=-\sqrt{x^2+y^2+(z-a-d-b)^2}
\end{displaymath} (68)

O sinal (-) é devido ao fato de se tratar de uma onda esférica que está se contraindo para o ponto $O_2$. De fato, uma onda esférica que sai da origem é

\begin{displaymath}
\frac{e^{i(kr-\omega t)}}{r}
\end{displaymath}

ao passo que uma onda esférica que chega na origem é dada por

\begin{displaymath}
\frac{e^{i(-kr-\omega t)}}{r} \; .
\end{displaymath}

Perto da segunda face da lente, temos
\begin{displaymath}
S=-\sqrt{x^2+y^2+(a+d+\zeta-a-d-b)^2}
\end{displaymath} (69)

ou
\begin{displaymath}
S=-\sqrt{x^2+y^2+(\zeta-b)^2}
\end{displaymath} (70)

Para pequenas aberturas,

\begin{eqnarray*}
S_2 & = & -\sqrt{(b-\zeta)^2(1+\frac{x^2+y^2}{(b-\zeta)^2})}\...
...(b-\zeta)^2})\\
& = & -\{b-\zeta + \frac{x^2+y^2}{2(b-\zeta)}
\end{eqnarray*}



ou
\begin{displaymath}
S=-\{b-\zeta+\frac{x^2+y^2}{2b}\}
\end{displaymath} (71)

O eikonal do primeiro raio refratado, quando ele atinge as proximidades da segunda face da lente, é
\begin{displaymath}
S'=n\sqrt{x^2+y^2+(a+d+\zeta-a+r)^2}
\end{displaymath} (72)

onde resolvemos denotá-lo por $S'$ para distinguí-lo do eikonal do segundo raio refratado. Temos, após uma simplificação,
\begin{displaymath}
S'= n\sqrt{x^2+y^2+(\zeta+d=r)^2}
\end{displaymath} (73)

Para pequenas aberturas,

\begin{eqnarray*}
S'& = & n\sqrt{(r+d+\zeta)^2(1+\frac{x^2+y^2}{(r+d+\zeta)^2}}\\
& = & n(r+d+\zeta)(1+\frac{x^2+y^2}{2(r+d+\zeta)^2})
\end{eqnarray*}



ou, finalmente,
\begin{displaymath}
S'=n(r+d+\zeta +\frac{x^2+y^2}{2(r+d)})
\end{displaymath} (74)

Devemos então ter, na segunda face,
\begin{displaymath}
n(r+d+\zeta+\frac{x^2+y^2}{2(r+d)}+ S_0)_{Sup}=-(b-\zeta+\frac
{x^2+y^2}{2b})_{Sup}
\end{displaymath} (75)

onde o cálculo deve ser feito para os pontos da segunda superfície da lente, ou seja, para
\begin{displaymath}
\zeta=-\frac{x^2+y^2}{2R_2}
\end{displaymath} (76)

Temos então
\begin{displaymath}
n(r+d-\frac{x^2+y^2}{2R_2}+\frac{x^2+y^2}{2(r+d)}+S_0)=
-(b+\frac{x^2+y^2}{2R_2}+\frac{x^2+y^2}{2b})
\end{displaymath} (77)

que dá as equações
\begin{displaymath}
nr+nd +nS_0+b=0
\end{displaymath} (78)

e
\begin{displaymath}
-\frac{n}{2R_2}+\frac{n}{2(r+d)}+\frac{1}{2R_2}+\frac{1}{2b})=0
\end{displaymath} (79)

ou
\begin{displaymath}
\frac{n-1}{R_2}=\frac{1}{b}+\frac{n}{r+d}
\end{displaymath} (80)


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Henrique Fleming 2002-04-24