A segunda refração

A equação da segunda face, se $R_2$ é o seu raio e $C$ o seu centro, é

$$(x-x_{C})^2+(y-y_{C})^2+(z-z_{C})^2=R_2^2$$ (60)

ou

$$x^2+y^2+(z-(R_2-a-d))^2=R_2^2$$ (61)

Para pontos próximos à segunda face, temos

$$z=a+d+\zeta$$

com $\vert\zeta\vert\ll \vert a+d\vert$. Então,

$$x^2+y^2+(a+d+\zeta=(a+d-R_2))^2=R_2^2$$ (62)

ou

$$x^2+y^2+(\zeta+R_2)^2=R_2^2$$ (63)

e, usando o fato de que $\vert\zeta\vert$ é pequeno,

$$x^2+y^2+R_2^2(1+\frac{2\zeta}{R_2})^2=R_2^2$$ (64)

e, finalmente,

$$x^2+y^2+2\zeta R_2=0$$ (65)

que podemos por na forma

$$\zeta=-\frac{x^2+y^2}{2R_2}$$ (66)

O eikonal do segundo raio refratado é

$$S=-\sqrt{x^2+y^2+(z-z_{O_2})^2}$$ (67)

onde $z_{O_2}=a+d+b$, o que dá

$$S=-\sqrt{x^2+y^2+(z-a-d-b)^2}$$ (68)

O sinal (-) é devido ao fato de se tratar de uma onda esférica que está se contraindo para o ponto $O_2$. De fato, uma onda esférica que sai da origem é

$$\frac{e^{i(kr-\omega t)}}{r}$$

ao passo que uma onda esférica que chega na origem é dada por

$$\frac{e^{i(-kr-\omega t)}}{r} \; .$$

Perto da segunda face da lente, temos

$$S=-\sqrt{x^2+y^2+(a+d+\zeta-a-d-b)^2}$$ (69)

ou

$$S=-\sqrt{x^2+y^2+(\zeta-b)^2}$$ (70)

Para pequenas aberturas,

$$\begin{eqnarray*} S_2 & = & -\sqrt{(b-\zeta)^2(1+\frac{x^2+y^2}{(b-\zeta)^2})}\... ...(b-\zeta)^2})\\ & = & -\{b-\zeta + \frac{x^2+y^2}{2(b-\zeta)} \end{eqnarray*}$$

ou

$$S=-\{b-\zeta+\frac{x^2+y^2}{2b}\}$$ (71)

O eikonal do primeiro raio refratado, quando ele atinge as proximidades da segunda face da lente, é

$$S'=n\sqrt{x^2+y^2+(a+d+\zeta-a+r)^2}$$ (72)

onde resolvemos denotá-lo por $S'$ para distinguí-lo do eikonal do segundo raio refratado. Temos, após uma simplificação,

$$S'= n\sqrt{x^2+y^2+(\zeta+d=r)^2}$$ (73)

Para pequenas aberturas,

$$\begin{eqnarray*} S'& = & n\sqrt{(r+d+\zeta)^2(1+\frac{x^2+y^2}{(r+d+\zeta)^2}}\\ & = & n(r+d+\zeta)(1+\frac{x^2+y^2}{2(r+d+\zeta)^2}) \end{eqnarray*}$$

ou, finalmente,

$$S'=n(r+d+\zeta +\frac{x^2+y^2}{2(r+d)})$$ (74)

Devemos então ter, na segunda face,

$$n(r+d+\zeta+\frac{x^2+y^2}{2(r+d)}+ S_0)_{Sup}=-(b-\zeta+\frac {x^2+y^2}{2b})_{Sup}$$ (75)

onde o cálculo deve ser feito para os pontos da segunda superfície da lente, ou seja, para

$$\zeta=-\frac{x^2+y^2}{2R_2}$$ (76)

Temos então

$$n(r+d-\frac{x^2+y^2}{2R_2}+\frac{x^2+y^2}{2(r+d)}+S_0)= -(b+\frac{x^2+y^2}{2R_2}+\frac{x^2+y^2}{2b})$$ (77)

que dá as equações

$$nr+nd +nS_0+b=0$$ (78)

e

$$-\frac{n}{2R_2}+\frac{n}{2(r+d)}+\frac{1}{2R_2}+\frac{1}{2b})=0$$ (79)

ou

$$\frac{n-1}{R_2}=\frac{1}{b}+\frac{n}{r+d}$$ (80)