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Para sintetizar as fórmulas de transformação
(19), introduzimos a notação indicial, onde
(
:
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(39) |
para , onde
é definido assim
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(40) |
Expandindo (39), temos
Comparando com (19), vemos que devemos ter
Isto pode ser sintetizado assim:
é antissimétrico
(
) e infinitesimal.
Na realidade, poderíamos chegar a esta conclusão de uma forma
mais geral e rápida: uma rotação é uma transformação
tal que o módulo do vetor girado permanece invariante. Ou seja,
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(47) |
pois
Usando agora a equação (39), vamos eliminar os
da (47). Escrevemos
para um fator, e
para o outro. A eq.(47) se transforma em
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(48) |
Como essas somas são associativas, podemos escrever
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(49) |
O termo dentro das somatórias do segundo membro, expandido, dá
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(50) |
mas o último termo, que contém o produto de dois , é
desprezível, pois é infinitesimal. Restam, então,
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(51) |
Vamos calcular termo a termo.
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(52) |
Mas
, e
,
logo,
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(53) |
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(54) |
enquanto que o terceiro termo dá, por motivos análogos,
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(55) |
Note-se que a útima soma desta equação pode também ser
escrita
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(56) |
pois o nome do índice da soma pode ser qualquer um.
Então, reunindo tudo, temos
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(57) |
Como
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(58) |
temos que
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(59) |
Qual é a forma mais geral de
para a qual
esta soma é zero, com e arbitrários?
A resposta é que
deve ser antissimétrico,
ou seja,
. De fato,
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(60) |
pois a única coisa que fizemos foi inverter os nomes dos dois
índices. Mas a segunda soma pode também se rescrita
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(61) |
pois os são números. Mas então, podemos reescrever
(60) assim:
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(62) |
e, como a ordem das somas é irrelevante, temos
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(63) |
Se
, teremos
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(64) |
ou o que é o mesmo,
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(65) |
como se queria demonstrar.
Resumindo, seja a transformação infinitesimal
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(66) |
seja uma rotação, é necessário e suficiente3 que
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(67) |
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Henrique Fleming
2003-08-11