Rotações infinitesimais: parametrização

Para sintetizar as fórmulas de transformação (19), introduzimos a notação indicial, onde ( $x_{1},x_{2})=(x,y)$:

$$x^{\prime}_{i} = \sum_{j=1}^{2}(\delta_{ij}+\omega_{ij})x_{j}$$ (39)

para $i=1,2$, onde $\delta_{ij}$ é definido assim

$$\delta_{ij} = \left\{ \begin{array}{ccc} 1 & \mbox{ quando } & i=j\\ 0 & \mbox{ quando } & i \neq j\end{array}\right.$$ (40)

Expandindo (39), temos

$$x^{\prime}_{1} = (1 + \omega_{11})x_{1}+\omega_{12}x_{2}$$ (41)

$$x^{\prime}_{2} = \omega_{21}x_{1}+(1+\omega_{22})x_{2}$$ (42)

Comparando com (19), vemos que devemos ter

$$\omega_{11} =$$ 0 (43)

$$\omega_{22} =$$ 0 (44)

$$\omega_{12} = -\theta$$ (45)

$$\omega_{21} = \theta$$ (46)

Isto pode ser sintetizado assim: $\omega_{ij}$ é antissimétrico ( $\omega_{ij}=-\omega_{ji}$) e infinitesimal.

Na realidade, poderíamos chegar a esta conclusão de uma forma mais geral e rápida: uma rotação é uma transformação tal que o módulo do vetor girado permanece invariante. Ou seja,

$$\sum_{i}x_{i}x_{i}=\sum_{j}x^{\prime}_{j}x^{\prime}_{j}$$ (47)

pois $\vert\vec{r}\vert^2 = \sum_{i}x_{i}x_{i}=\sum_{j}x^{\prime}_{j}x^{\prime}_{j}$ Usando agora a equação (39), vamos eliminar os $x^{\prime}_{j}$ da (47). Escrevemos

$$x^{\prime}_{j}=\sum_{l}(\delta_{jl}+\omega_{jl})x_{l}$$

para um fator, e

$$x^{\prime}_{j}=\sum_{m}(\delta_{jm}+\omega_{jm})x_{m}$$

para o outro. A eq.(47) se transforma em

$$\sum_{i}x_{i}x_{i}=\sum_{j}\left\{\left(\sum_{l}\left(\delta_{jl}... ...}\right) \left(\sum_{m}\left(\delta_{jm}+\omega_{jm}\right)x_{m}\right)\right\}$$ (48)

Como essas somas são associativas, podemos escrever

$$\sum_{i}x_{i}x_{i}=\sum_{j}\sum_{l}\sum_{m}\left\{ \left(\delta_{jl}+\omega_{jl}\right)x_{l}\left(\delta_{jm}+\omega_{jm}\right)x_{m}\right\}$$ (49)

O termo dentro das somatórias do segundo membro, expandido, dá

$$\delta_{jl}\delta_{jm}x_{l}x_{m}+\delta_{jl}x_{l}\omega_{jm}x_{m}+ \omega_{jl}x_{l}\delta_{jm}x_{m}+\omega_{jl}x_{l}\omega_{jm}x_{m}$$ (50)

mas o último termo, que contém o produto de dois $\omega$, é desprezível, pois $\omega$ é infinitesimal. Restam, então,

$$\delta_{jl}\delta_{jm}x_{l}x_{m}+\delta_{jl}x_{l}\omega_{jm}x_{m}+ \omega_{jl}x_{l}\delta_{jm}x_{m}$$ (51)

Vamos calcular termo a termo.

$$\sum_{j}\sum_{l}\sum_{m}(\delta_{jl}\delta_{jm}x_{l}x_{m})= \sum_{j}\left(\sum_{l}\delta_{jl}x_{l}\right)\left(\sum_{m}\delta_{jm} x_{m}\right)$$ (52)

Mas $\sum_{l}\delta_{lj}x_{l}=x_{j}$, e $\sum_{m}\delta_{mj}x_{m}=x_{j}$, logo,

$$\sum_{j}\sum_{l}\sum_{m}(\delta_{jl}\delta_{jm}x_{l}x_{m})=\sum_{j}x_{j}x_{j}$$ (53)

$$\sum_{j}\sum_{l}\sum_{m}(\delta_{jl}x_{l}\omega_{jm}x_{m})= \sum_... ...ht)\left(\sum_{m}\omega_{jm}x_{m}\right) =\sum_{j}\sum_{m}\omega_{jm}x_{j}x_{m}$$ (54)

enquanto que o terceiro termo dá, por motivos análogos,

$$\sum_{j}\sum_{l}\sum_{m}(\omega_{jl}x_{l}\delta_{jm}x_{m})= \sum_{j}\sum_{l}\omega_{jl}x_{j}x_{l}$$ (55)

Note-se que a útima soma desta equação pode também ser escrita

$$\sum_{j}\sum_{m}\omega_{jm}x_{j}x_{m}$$ (56)

pois o nome do índice da soma pode ser qualquer um. Então, reunindo tudo, temos

$$\sum_{i}x_{i}x_{i}= \sum_{j}x_{j}x_{j} + 2\sum_{j}\sum_{m}\omega_{jm}x_{j}x_{m}$$ (57)

Como

$$\sum_{i}x_{i}x_{i}=\sum_{j}x_{j}x_{j}$$ (58)

temos que

$$\sum_{j}\sum_{m}\omega_{jm}x_{j}x_{m}=0$$ (59)

Qual é a forma mais geral de $\omega_{jm}$ para a qual esta soma é zero, com $x_{j}$ e $x_{m}$ arbitrários? A resposta é que $\omega_{jm}$ deve ser antissimétrico, ou seja, $\omega_{jm}=-\omega_{mj}$. De fato,

$$\sum_{j}\sum_{m}\omega_{jm}x_{j}x_{m}=\sum_{m}\sum_{j}\omega_{mj}x_{m}x_{j}$$ (60)

pois a única coisa que fizemos foi inverter os nomes dos dois índices. Mas a segunda soma pode também se rescrita

$$\sum_{m}\sum_{j}\omega_{mj}x_{l}x_{m}$$ (61)

pois os $x_{i}$ são números. Mas então, podemos reescrever (60) assim:

$$\sum_{j}\sum_{m}\omega_{jm}x_{j}x_{m}=\sum_{m}\sum_{j}\omega_{mj}x_{j}x_{m}$$ (62)

e, como a ordem das somas é irrelevante, temos

$$\sum_{j}\sum_{m}\omega_{jm}x_{j}x_{m}=\sum_{j}\sum_{m}\omega_{mj}x_{j}x_{m}$$ (63)

Se $\omega_{jm}=-\omega_{mj}$, teremos

$$\sum_{j}\sum_{m}\omega_{jm}x_{j}x_{m}=-\sum_{j}\sum_{m}\omega_{jm}x_{j}x_{m}$$ (64)

ou o que é o mesmo,

$$\sum_{j}\sum_{m}\omega_{jm}x_{j}x_{m}=0$$ (65)

como se queria demonstrar.

Resumindo, seja a transformação infinitesimal

$$x^{\prime}_{i}=\sum_{j}(\delta_{ij}+\omega_{ij})x^{j}$$ (66)

seja uma rotação, é necessário e suficiente³ que

$$\omega_{ij}=-\omega_{ji}$$ (67)