Rotações no plano e números complexos

A reconstrução de (15) a partir de (19) não é simples, usando os métodos mais imediatos. Por isso, vamos, nesta digressão sobre números complexos, introduzir uma técnica que torna essa tarefa bastante simples.

Todo número complexo $z=x+iy$ pode ser escrito na representação polar:

$$z=r\;e^{i\phi} \;,$$ (21)

e a relação entre as duas representações segue facilmente do uso da famosa fórmula de Gauss:

$$e^{i\phi}=\cos{\phi}+i\sin{\phi}\;:$$ (22)

$$x+iy=z=re^{i\phi}=r\cos{\phi}=ir\sin{\phi}$$ (23)

Executando uma rotação de ângulo $-\theta$ (equivalente a rodar os eixos de ângulo $\theta$), temos:

$$x^{\prime}+iy^{\prime} = re^{i(\phi - \theta)}$$ (24)

$$= r(\cos{(\phi - \theta)}+i\sin{(\phi - \theta)})$$ (25)

$$= r(\cos{\phi}\cos{\theta}+\sin{\phi}\sin{\theta})+ir(\sin{\theta} \cos{\phi}-\cos{\phi}\sin{\theta})$$ (26)

$$= x\cos{\theta}+y\sin{\theta}+y\cos{\theta} +i(y\cos{\theta}-x\sin{\theta})$$ (27)

Logo,

$$x^{\prime} = \cos{\theta}\;x + \sin{\theta}\;y$$ (28)

$$y^{\prime} = -\sin{\theta}\;x+\cos{\theta}\;y$$ (29)

que reproduz a eq.(15).

Considere agora uma rotação infinitesimal, de ângulo $-\frac{\theta}{n}$, onde $n$ é um inteiro muito grande. Temos:

$$x^{\prime}=re^{i\left(\phi-\frac{\theta}{n}\right)} = re^{i\phi}e^{-i\frac{\theta}{n}}\approx re^{i\phi}\left(1-i\frac{\theta}{n}\right)$$

$$= (r\cos{\phi}=ir\sin{\phi})\left(1-i\frac{\theta}{n}\right)$$

$$= x + \frac{\theta}{n}y+i\left(-\frac{\theta}{n}\;x+y\right)$$ (30)

ou

$$x^{\prime} = x+\frac{\theta}{n}\;y$$ (31)

$$y^{\prime} = -\frac{\theta}{n}\;x+y$$ (32)

Então, se realizarmos duas rotações sucessivas de ângulo $-\frac{\theta}{n}$, teremos

$$x^{\prime}+iy^{\prime}=re^{i\phi}\left(1-i\frac{\theta}{n}\right)^2$$ (33)

e, se forem $n$ sucessivas,

$$x^{\prime}+iy^{\prime} = re^{i\phi}\left(1-i\frac{\theta}{n}\right)^n$$ (34)

Como é sabido,

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\left(1-i\frac{\theta}{n}\right)^n = e^{-i\theta}$$ (35)

Logo, no limite de infinitas rotações infinitesimais, temos

$$x^{\prime}+iy^{\prime}=\lim_{n\rightarrow \infty}re^{i\phi}\left(1-i\frac{\theta}{n}\right)^n = re^{i\phi}e^{-i\theta}$$ (36)

ou seja, neste limite,

$$x^{\prime} = \cos{\theta}\;x + \sin{\theta}\;y$$ (37)

$$y^{\prime} = -\sin{\theta}\;x+\cos{\theta}\;y$$ (38)

e assim reconstruímos uma rotação finita por uma sucessão de rotações infinitesimais.

A eficácia do uso de números complexos na descrição de rotações no plano levou William Rowan Hamilton² a procurar uma possível generalização dos números complexos que fizesse o mesmo para rotações no espaço. Daí nasceram os quaternions.