Problema unidimensional

Considere um supercondutor com uma superfície plana, que tomamos como o plano $yz$. Assim o eixo $x$ é perpendicular ao plano. Sobre o supercondutor age um campo magnético externo

$$\vec{H}=H\vec{j}$$ (191)

Tomando o potencial vetor com a condição de gauge $div\vec{A}=0$, obtém-se facilmente que

$$\vec{A}=A(z)\vec{i}$$ (192)

De fato,

$$rot(A(z)\vec{i})=\frac{\partial A_{z}}{\partial z}\vec{j}$$ (193)

Neste gauge,

$$\vec{\nabla}^2\vec{A}=-\frac{4\pi}{c}\vec{J}$$ (194)

onde $\vec{J}$ é a densidade de corrente (escrita em maiúscula para distinguir do versor $\vec{j}$). Esta equação degenera em

$$\frac{\partial^2 A\vec{i}}{\partial z^2}=-\frac{4\pi}{c}J\vec{i}$$ (195)

de onde se conclui que

$$\vec{J}=J(z)\vec{i}$$ (196)

Da equação

$$rot\vec{H}=\frac{4\pi}{c}\vec{J}$$ (197)

temos ainda que

$$\frac{4\pi}{c}J=-\frac{dH}{dz}$$ (198)

Resumindo,

$$\vec{H} = H(z)\vec{j}$$ (199)

$$\vec{J} = j(z)\vec{i}$$ (200)

$$\vec{A} = A(z)\vec{i}$$ (201)

A função de onda $\psi$, naturalmente, só pode depender também de $z$. Na verdade, tudo o que se pode afirmar é que o módulo de $\psi$ só pode depender de $z$. A função de onda pode ser da forma

$$\psi = e^{i\alpha(x,y)} \phi(z)$$ (202)

onde $\alpha(x,y)$ é uma função real. Contudo, a invariância de gauge da teoria permite tomar³$\alpha = 0$, e, então,

$$\psi = \psi(z)$$ (205)