Energia de superfície em um supercondutor

Em um material homogêneo sob a ação de um campo magnético com uma direção fixa, supomos a existência de uma fase normal e uma supercondutora. A passagem de uma a outra se dá numa camada pouco espessa que será tratada como uma superfície. Seja $T$ a temperatura. Vamos calcular a energia livre por unidade de volume na região de transição. Partindo da fase supercondutora ($\vec{H}=0$) em direção à fase normal, iremos encontrando campos cada vez maiores. A fase normal será encontrada quando $\vec{H}=\vec{H}_{c}$. Na reião próxima e anterior a esta, qual é a energia livre por unidade de volume? Numa região propriamente swpercondutora na presença de uma campo magnético externo $\vec{H}_{ext}$, tem-se

$$F_{sH}=\overline{F}_{sH}+\frac{H_{ext}^2}{8\pi}$$ (221)

o que quer dizer que a energia interna do supercondutor contém um termo que é a energia necessária para manter o campo fora dele. Na região de transição, o campo externo é $\vec{H}_{c}$, e o campo interno não é nulo, e sim $\vec{H}(z)$. Logo, a energia por unidade de volume é

$$F_{sH}^{t}=\overline{F}_{sH}+\frac{\left(\vec{H}_{c}-\vec{H}\right)^2}{8\pi}$$ (222)

exibindo-se o termo necessário para cancelar o campo $\vec{H}_{c}-\vec{H}$. Então,

$$F_{sH}^{t} = \overline{F}_{sH} -\frac{\vec{H}.\vec{H}_{c}}{4\pi} +\frac{\vec{H}_{c}^2}{8\pi}$$ (223)

Considere a quantidade

$$F_{sH}^{t}-F_{n0}=F_{sH} -\frac{\vec{H}.\vec{H}_{c}}{4\pi} +\frac{\vec{H}_{c}^2}{8\pi} - F_{n0}$$ (224)

que tem as propriedades:
(1)Na fase supercondutora, $F_{sH}^{t}-F_{n0}=0$. De fato, ali, $\vec{H}=0$, logo, $F_{sH}\rightarrow F_{n0}$, e

$$F_{sH} -\frac{\vec{H}.\vec{H}_{c}}{4\pi} +\frac{\vec{H}_{c}^... ...rrow F_{n0}+\frac{H_{c}^2}{8\pi}-\frac{H_{c}^2}{8\pi}-F_{n0}=0$$ (225)

Logo, a quantidade $F_{sH}^{t}-F_{n0}$ só é diferente de zero na região de transição entre as fases. Definimos

$$\sigma_{ns}=\int dz\left(F_{sH}(z)-\frac{H(z)H_{c}}{4\pi}-F_{n0}+\frac{H_{c}^2}{8\pi}\right)$$ (226)

senda a integração estendida à região de transição, como a densidade de energia de superfície. Usando as equações

$$F_{s0}-F_{n0} = \alpha \psi^2+\frac{\beta}{2}\psi^4$$ (227)

$$F_{sH} = F_{s0}+\frac{H^2}{8\pi}+\frac{1}{2m}\left\vert-i\hbar \vec{\nabla}\psi-\frac{e}{c}\vec{A}\psi \right\vert^2$$ (228)

temos

$$\sigma_{ns}=\int dz\left[\alpha\psi^2+\frac{\beta}{2}\psi^4+... ...{2m c^2}A^2\psi^2 +\frac{H^2}{8\pi}-\frac{H_{c}H}{4\pi}\right]$$ (229)

onde se usou $H_{c}^2=\frac{4\pi \alpha^2}{\beta}$.

Vamos introduzir uma nova notação, em termos dos parâmetros $H_{c}$, $\delta_{0}$, $\kappa$, definidos assim:

$$\delta_{0}^2 = \frac{mc^2 \beta}{4\pi e^2 \vert\alpha\vert}$$ (230)

$$H_{c}^2 = \frac{4\pi \alpha^2}{\beta}$$ (231)

$$\kappa^2 = \frac{1}{2\pi}\left(\frac{mc}{e\hbar}\right)^2\beta$$ (232)

$$\psi_{\infty}^2 = \frac{\vert\alpha\vert}{\beta}$$ (233)

Introduzindo novas variáveis

$$z' = \frac{z}{\delta_{0}}$$ (234)

$$\psi'^2 = \frac{\psi^2}{\psi_{\infty}^2}$$ (235)

$$A' = \frac{A}{\sqrt{2}H_{c}\delta_{0}}$$ (236)

$$H' = \frac{dA'}{dz'}=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{H}{H_{c}}$$ (237)

as equações são escritas

$$\frac{d^2\psi'}{dz'^2} = \kappa^2\left[-(1-A'^2)\psi'+ \psi'^3\right]$$ (238)

$$\frac{d^2A'}{dz'^2} = \psi'^2A'$$ (239)

$$\sigma_{ns} = \frac{H_{c}^2}{4\pi}\delta_{0}\int\left[ \frac{1}{2}-(1-A'^2)\psi... ...rac{1}{2}\psi'^4+\frac{1}{\kappa^2} \left(\frac{d\psi'}{dz'}\right)^2\right]dz'$$ (240)

$$+ \frac{H_{c}^2}{4\pi}\delta_{0}\int\left[\left(\frac{dA'}{dz'}\right)^2 -2\left(\frac{dA'}{dz'}\right)_{c}\left(\frac{dA'}{dz'}\right)\right]dz'$$

Se $\kappa =0$, temos

$$\frac{d^2\psi'}{dz'^2}=0$$ (241)

que, com a condição de contorno (neste caso, $\frac{d\psi'}{dz'}=0$ na superfície), dá

$$\frac{d\psi'}{dz'}=cte \;\;=0$$ (242)

Logo,

$$\psi'= cte.$$ (243)

e, em particular,

$$\frac{d\psi'^2}{dz'}=0 \;\;\; \rightarrow \frac{d\psi^2}{dz}=0$$ (244)

Isto dá o significado do parâmetro $\kappa$. O inverso dele mede essencialmente a distância típica em que a variação de $\psi$ é grande.

Vamos agora examinar a densidade superficial de energia em dois casos extremos:
(1)$\kappa =0$ - densidade de energia positiva- $1.^0$ tipo.
(2) $\kappa \rightarrow \infty$ - a equação

$$\frac{d^2\psi'}{dz'^2}=\kappa^2\left[-(1-A'^2)\psi'+ \psi'^3\right]$$ (245)

dá

$$\psi'\left(\psi'^2-(1-A'^2)\right)=0 \;\;\; \rightarrow \;\;\;\psi^3=1-A'^2$$ (246)

Levando isto à expressão para a energia superficial, tem-se

$$\sigma_{ns} = \frac{H_{c}^2}{4\pi}\delta_{0}\times$$ (247)

$$\int\left\{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\psi'^4+\frac{1}{\kappa^2}\left... ...right)^2- 2\left(\frac{dA'}{dz'}\right)_{c}\left(\frac{dA'}{dz'}\right)\right\}$$ (248)

isto é, a energia de superfície é negativa. Logo, há uma tendência para o aumento da superfície, o que acarreta uma penetração do campo magnético no material. Condutores deste tipo são chamados supercondutores do $2.^0$ tipo(Abrikozov, 1957).