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Em um material homogêneo sob a ação de um campo magnético
com uma direção fixa, supomos a existência de uma fase normal
e uma supercondutora. A passagem de uma a outra se dá numa camada
pouco espessa que será tratada como uma superfície. Seja
a
temperatura. Vamos calcular a energia livre por unidade de volume na
região de transição. Partindo da fase supercondutora
(
) em direção à fase normal, iremos encontrando
campos cada vez maiores. A fase normal será encontrada quando
. Na reião próxima e anterior a esta, qual
é a energia livre por unidade de volume? Numa região propriamente
swpercondutora na presença de uma campo magnético externo
, tem-se
![\begin{displaymath}
F_{sH}=\overline{F}_{sH}+\frac{H_{ext}^2}{8\pi}
\end{displaymath}](img440.png) |
(221) |
o que quer dizer que a energia interna do supercondutor contém um
termo que é a energia necessária para manter o campo fora dele. Na
região de transição, o campo externo é
, e o
campo interno não é nulo, e sim
.
Logo, a energia por unidade de volume é
![\begin{displaymath}
F_{sH}^{t}=\overline{F}_{sH}+\frac{\left(\vec{H}_{c}-\vec{H}\right)^2}{8\pi}
\end{displaymath}](img443.png) |
(222) |
exibindo-se o termo necessário para cancelar o campo
. Então,
![\begin{displaymath}
F_{sH}^{t} = \overline{F}_{sH} -\frac{\vec{H}.\vec{H}_{c}}{4\pi}
+\frac{\vec{H}_{c}^2}{8\pi}
\end{displaymath}](img445.png) |
(223) |
Considere a quantidade
![\begin{displaymath}
F_{sH}^{t}-F_{n0}=F_{sH} -\frac{\vec{H}.\vec{H}_{c}}{4\pi}
+\frac{\vec{H}_{c}^2}{8\pi} - F_{n0}
\end{displaymath}](img446.png) |
(224) |
que tem as propriedades:
(1)Na fase supercondutora,
. De fato, ali,
, logo,
, e
![\begin{displaymath}
F_{sH} -\frac{\vec{H}.\vec{H}_{c}}{4\pi}
+\frac{\vec{H}_{c}^...
...rrow
F_{n0}+\frac{H_{c}^2}{8\pi}-\frac{H_{c}^2}{8\pi}-F_{n0}=0
\end{displaymath}](img449.png) |
(225) |
Logo, a quantidade
só é diferente de zero na
região de transição entre as fases. Definimos
![\begin{displaymath}
\sigma_{ns}=\int
dz\left(F_{sH}(z)-\frac{H(z)H_{c}}{4\pi}-F_{n0}+\frac{H_{c}^2}{8\pi}\right)
\end{displaymath}](img451.png) |
(226) |
senda a integração estendida à região de transição,
como a densidade de energia de superfície. Usando as
equações
temos
![\begin{displaymath}
\sigma_{ns}=\int
dz\left[\alpha\psi^2+\frac{\beta}{2}\psi^4+...
...{2m
c^2}A^2\psi^2 +\frac{H^2}{8\pi}-\frac{H_{c}H}{4\pi}\right]
\end{displaymath}](img456.png) |
(229) |
onde se usou
.
Vamos introduzir uma nova notação, em termos dos parâmetros
,
,
, definidos assim:
Introduzindo novas variáveis
as equações são escritas
Se
, temos
![\begin{displaymath}
\frac{d^2\psi'}{dz'^2}=0
\end{displaymath}](img484.png) |
(241) |
que, com a condição de contorno (neste caso,
na superfície), dá
![\begin{displaymath}
\frac{d\psi'}{dz'}=cte \;\;=0
\end{displaymath}](img486.png) |
(242) |
Logo,
![\begin{displaymath}
\psi'= cte.
\end{displaymath}](img487.png) |
(243) |
e, em particular,
![\begin{displaymath}
\frac{d\psi'^2}{dz'}=0 \;\;\; \rightarrow \frac{d\psi^2}{dz}=0
\end{displaymath}](img488.png) |
(244) |
Isto dá o significado do parâmetro
. O inverso dele mede
essencialmente a distância típica em que a variação de
é grande.
Vamos agora examinar a densidade superficial de energia em dois casos
extremos:
(1)
- densidade de energia positiva-
tipo.
(2)
- a equação
![\begin{displaymath}
\frac{d^2\psi'}{dz'^2}=\kappa^2\left[-(1-A'^2)\psi'+ \psi'^3\right]
\end{displaymath}](img491.png) |
(245) |
dá
![\begin{displaymath}
\psi'\left(\psi'^2-(1-A'^2)\right)=0 \;\;\; \rightarrow
\;\;\;\psi^3=1-A'^2
\end{displaymath}](img492.png) |
(246) |
Levando isto à expressão para a energia superficial, tem-se
isto é, a energia de superfície é negativa. Logo, há uma
tendência para o aumento da superfície, o que acarreta uma
penetração do campo magnético no material. Condutores deste
tipo são chamados supercondutores do
tipo(Abrikozov, 1957).
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Henrique Fleming
2002-04-15