Comparação com as equações de London

À equação (212) corresponde, na teoria de London, a equação

$$\vec{\nabla}^2\vec{H}=\frac{\vec{H}}{\lambda^2}$$ (213)

que, no nosso caso, é:

$$\frac{d^2 H}{dz^2}=\frac{H}{\lambda^2}$$ (214)

Derivando a eq.(212), temos

$$\frac{d^3 A}{dz^3}=\frac{4\pi e^2}{mc^2}\psi^2\frac{dA}{dz}+A\frac{4\pi e^2}{mc^2}\frac{d\psi^2}{dz}$$ (215)

Se $\psi$ é aproximadamente constante, temos

$$\frac{d^3 A}{dz^3}=\frac{4\pi e^2}{mc^2}\psi^2 \frac{dA}{dz}$$ (216)

e, pondo $\lambda=\frac{m c^2}{4\pi e^2 \psi^2}$ e levando em conta que $H=\frac{dA}{dz}$,

$$\frac{d^2 H}{dz^2}= \frac{4\pi e^2}{mc^2}\psi^2 H= \frac{H}{\lambda ^2}\; .$$ (217)

Segundo London,

$$\lambda^2 = \frac{mc^2}{4\pi e^2 n}$$ (218)

onde $n$ é o número de elétrons por unidade de volume, em perfeita analogia com a teoria de Ginzburg-Landau. Note-se ainda que, pondo-se $\frac{d^2 \psi}{d z^2}=0$ na equação para $\psi$, tem-se

$$\psi\left[\frac{2m}{\hbar^2}\vert\alpha\vert\left(1-\frac{e^... ...\alpha\vert}A^2\right)-\frac{2m}{\hbar^2}\beta \psi^2\right]=0$$ (219)

de onde sai que

$$\psi^2=\frac{\vert\alpha\vert\left(1-\frac{e^2}{2mc^2\alpha\vert}A^2\right)}{\beta}$$ (220)

isto é, o comprimento de penetração $\lambda^2$ na teoria de Ginzburg-Landau é uma função do campo, como previsto pela experiência.