A corrente

A corrente de probabilidade na presença de um potencial vetor $\vec{A}$ é

$$\vec{J}=-\frac{i e \hbar}{2m}\left(\psi^*\vec{\nabla}\psi-\psi\vec{\nabla}\psi^*\right)-\frac{e^2}{mc} \psi^*\vec{A}\psi$$ (206)

e, como $\vec{J}$ só tem a componente $x$ e $\psi$ só depende de $z$, esta expressão se simplifica para

$$J=-\frac{e^2}{mc}\vert\psi\vert^2\;A$$ (207)

Mostramos no apêndice que a função de onda é real. Lembrando que

$$F_{s0}=F_{n0}+\alpha\vert\psi\vert^2+\frac{\beta}{2}\vert\psi\vert^4$$ (208)

temos, para a equação para $\psi$,

$$\frac{1}{2m}\left[-\hbar^2\vec{\nabla}^2\psi+\frac{e^2}{c^2}\vec{A}^2\psi\right] +\frac{\partial F_{s0}}{\partial \psi^*}=0$$ (209)

ou

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dz^2}+\frac{e^2}{2mc^2}A^2\psi+\alpha\psi+\beta\psi^3=0$$ (210)

com $\alpha>0$. Logo,

$$\frac{d^2\psi}{dz^2}+\frac{2m}{\hbar^2}\vert\alpha\vert\left... ...ert\alpha\vert}A^2 \right)\psi-\frac{2m}{\hbar^2}\beta\psi^3=0$$ (211)

A equação para $\vec{A}$ é

$$\frac{d^2 A}{dz^2}-\frac{4\pi e^2}{m c^2}\vert\psi\vert^2A=0$$ (212)