Adição e subtração de operadores

Sejam $f$ e $g$ duas quantidades físicas que podem ter valores definidos simultaneamente. Sejam $\hat{f}$ e $\hat{g}$ seus operadores. Os autovalores da soma $f+g$ são a soma dos autovalores de $f$ e de $g$. Considere o operador $\hat{f}+\hat{g}$, e sejam $\psi_n$ as autofunções comuns a $\hat{f}$ e $\hat{g}$. Então,

$$\begin{eqnarray*} \hat{f}\psi_n & = & f_n \psi_n \\ \hat{g} \psi_n & = & g_n \psi_n \end{eqnarray*}$$

e, portanto,

$$(\hat{f} + \hat{g})\psi_n = (f_n + g_n)\psi_n$$

Este resultado pode ser generalizado para funções de onda quaisquer, assim:

$$(\hat{f}+\hat{g})\psi = \hat{f}\psi + \hat{g}\psi$$

Neste caso, tem-se

$$\overline{f+g} = \int \psi^*(\hat{f}+\hat{g})\psi dq= \int... ...q + \int \psi^* \hat{g} \psi dq= \overline{f} + \overline{g}$$

A multiplicação de operadores é definida assim:

$$(\hat{f}\hat{g})\psi = \hat{f}(\hat{g}\psi)$$

Suponhamos que $\psi_n$ seja autofunção comum a $\hat{f}$ e $\hat{g}$. Então,

$$\hat{f}\hat{g}\psi_n=\hat{f}(\hat{g}\psi_n)=\hat{f}(g_n \psi_n)=g_n\hat{f}\psi_n= g_n f_n \psi_n$$

e

$$\hat{g}\hat{f}\psi_n = \hat{g}(\hat{f}\psi_n) = \hat{g}(f_n \psi_n)=f_n(\hat{g}\psi_n)= f_n g_n \psi_n$$

Logo, para as autofunções simultaneas, temos

$$(\hat{f}\hat{g} - \hat{g}\hat{f})\psi_n = 0$$

Isto não é suficiente para se concluir que o operador

$$\hat{f}\hat{g}-\hat{g}\hat{f}=0 \; .$$

Contudo, como o conjunto das autofunções $\psi_n$ é completo, temos, dada uma função de onda arbitrária, que

$$\psi = \sum_{n}a_n \psi_n$$

e

$$(\hat{f}\hat{g}-\hat{g}\hat{f})\psi = \sum_{n}a_n(\hat{f}\hat{g}-\hat{g}\hat{f})\psi_n=0$$

Logo, o operador $\hat{f}\hat{g}-\hat{g}\hat{f}$ é zero como operador, pois leva qualquer função ao valor zero. Note-se que isto foi demonstrado para dois operadores que possuem um conjunto completo de autofunções comuns. No caso geral, esse comutador,

$$[\hat{f},\hat{g}]\equiv \hat{f}\hat{g}-\hat{g}\hat{f}$$

é diferente de zero.