Determinando o comportamento assintótico

Considere a equação

$$\frac{d^2 u}{d\rho^2}-\frac{1}{4}u=0$$ (142)

e vamos multiplicar cada um de seus termos por $\frac{du}{d\rho}$, obtendo

$$\frac{du}{d\rho}\frac{d^2u}{d\rho ^2} = \frac{1}{4}u\frac{du}{d\rho}$$

O leitor verificará facilmente que esta equação é a mesma que

$$\frac{d}{d\rho}\left(\frac{du}{d\rho}\right)^2=\frac{1}{4}\frac{d}{d\rho}u^2$$ (143)

ou

$$\frac{d}{d\rho}\left\{\left(\frac{du}{d\rho}\right)^2-\frac{u^2}{4}\right\}=0$$ (144)

Portanto,

$$\left(\frac{du}{d\rho}\right)^2-\frac{u^2}{4}=K$$

onde $K$ é uma constante. Mas tanto $u$ quanto as suas derivadas tendem a zero no infinito. Logo, a constante $K$ deve ser nula, pois, calculada no infinito é nula, e tem o mesmo valor em todos os pontos. Conseqüentemente,

$$\left(\frac{du}{d\rho}\right)^2 = \frac{u^2}{4}$$ (145)

e

$$\frac{du}{d\rho}= \pm \frac{u}{2}$$ (146)

As soluções dessas equações são

$$u(\rho)=\exp{\pm \frac{\rho}{2}}$$ (147)

das quais a que satisfaz os requisitos físicos de se anular no infinito é

$$u(\rho)=\exp{-\frac{\rho}{2}}$$ (148)

Este é, então, o comportamento assintótico que as soluções da Eq.(140) devem ter.