Exemplos de operadores unitários

O leitor verificará sem dificuldade que o operador $\hat{1}$, definido por

$$\hat{1}\psi = \psi$$

é unitário. Para dar exemplos mais ricos, precisaremos definir a exponencial de um operador. Define-se $e^{\hat{O}}$ assim:

$$e^{\hat{O}}=\hat{1} + \hat{O} + \frac{1}{2!}\hat{O} \hat{O} + \frac{1}{3!}\hat{O}\hat{O}\hat{O}+...$$ (65)

onde, naturalmente, se pode escrever $\hat{O}^2$ em vez de $\hat{O}\hat{O}$, etc. A idéia é usar a expansão da função exponencial numérica como modelo da expansão do operador. Usando-se esta definição, pode-se demonstrar a importante relação de Baker-Hausdorff-Campbell:

$$e^{\hat{A}}\hat{B}e^{-\hat{A}} = \hat{B} + [\hat{A},\... ...}]]+ \frac{1}{3!}[\hat{A},[\hat{A},[\hat{A},\hat{B}]]]+ ...$$ (66)

Uma aplicação imediata é esta: para $\hat{B}=1$, temos

$$e^{\hat{A}}e^{-\hat{A}}=1$$

pois $[\hat{A},\hat{1}]=0$. Logo, $e^{-\hat{A}}$ é o operador inverso de $e^{\hat{A}}$. Considere um operador da forma $e^{i\hat{O}}$, com $\hat{O}=\hat{O}^+$, ou seja, hermiteano. Temos então,

$$\left(e^{i\hat{O}}\right)^+= e^{-i\hat{O}^+}=e^{-i\hat{O}}$$

Logo,

$$\left(e^{i\hat{O}}\right)\left(e^{i\hat{O}}\right)^+=1$$

ou seja, $e^{i\hat{O}}$ é unitário se $\hat{O}$ for hermiteano.
Exemplo: os seguintes operadores são unitários:

$$\begin{eqnarray*} U(\epsilon) & = & e^{\frac{i}{\hbar}\epsilon \hat{p_x}}\\ U(\Delta t) & = & e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}\Delta t} \end{eqnarray*}$$

Chama-se operadores unitários infinitesimais operadores da forma

$$\hat{U}=1+i\epsilon \hat{O}$$

com $\hat{O}=\hat{O}^+$. Note-se que um operador desse tipo é o truncamento da série que define o operador unitário $e^{i\epsilon \hat{O}}$ que mantém apenas os dois primeiros termos. Ou seja, um operador unitário infinitesimal satisfaz a condição de unitaridade desde que se desprezem termos que contenham potências quadráticas de $\epsilon$ ou maiores. Explicitamente, temos, se $\hat{U}=1+i\epsilon \hat{O}$, $\hat{U}^+ = 1-i\epsilon \hat{O}$, e

$$\hat{U}\hat{U}^+ = (1+i\epsilon \hat{O})(1-i\epsilon\hat{O}... ...epsilon \hat{O}-i\epsilon\hat{O} + \epsilon ^2(...) \approx 1$$

Seja $\hat{B}$ um operador invariante por uma transformação implementada pelo operador unitário infinitesimal $1+\frac{i}{\hbar}\epsilon \hat{O}$. Então

$$\hat{B}=\left(1+\frac{i\epsilon}{\hbar}\hat{O}\right)\hat{B... ...at{B}\hat{O}=\hat{B}+\frac{i\epsilon}{\hbar}[\hat{O},\hat{B}]$$

Logo, devemos ter $[\hat{O},\hat{B}]=0$. Sumarizando: Seja $\hat{B}$ invariante pela transformação unitária $\hat{U}=e^{\frac{i\epsilon}{\hbar}\hat{O}}$. Então, $[\hat{B},\hat{O}]=0$. Define-se simetria de um sistema com hamiltoniano $\hat{H}$ uma transformação unitária que deixa o hamiltoniano invariante. Seja $\hat{U}=e^{\frac{i\epsilon}{\hbar}\hat{O}}$ uma simetria. Então, por definição, $[\hat{H},\hat{O}]=0$. Ora, isto significa que o operador $\hat{\dot{O}}=0$, ou, em outras palavras,que a quantidade física associada ao operador hermiteano $\hat{O}$ é conservada. Desta forma associamos simetrias a leis de conservação: a cada simetria corresponde uma quantidade conservada. Este resultado, na física clássica, é conhecido como o teorema de Noether.