Kepler, quase de graça!

Como aplicação, vamos ao problema de Kepler. Na origem do sistema de coordenadas está o Sol, de massa $M$. O vetor $\vec{r}$ vai do Sol à Terra, de massa $m$. A força, segundo Newton, é

$$\vec{f}=-\frac{GMm}{r^2}\vec{e}_{r}$$ (59)

Como o vetor $\vec{r}$ é

$$\vec{r}=r\vec{e}_{r}$$ (60)

temos

$$d\vec{r}=d(r\vec{e}_{r})=dr \vec{e}_{r}+r\;d\vec{e}_{r}$$ (61)

Usando (57),

$$d\vec{r}=dr \vec{e}_{r} +r\;d\phi\vec{e}_{\phi}$$ (62)

e, ``dividindo por $dt$'',

$$\frac{d\vec{r}}{dt} = \dot{r}\vec{e}_{r}+r\dot{\phi}\vec{e}_{\phi}$$ (63)

onde usamos a notação de Newton: o ponto sobre o símbolo significa sua derivada no tempo.

A derivada segunda de $\vec{r}$ não oferece novas dificuldades.

$$\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}= \ddot{r}\vec{e}_{r}+\dot{r}\frac{d\vec{e... ...+\frac{d}{dt}(r\dot{\phi})\vec{e}_{\phi}+ r\dot{\phi}\frac{d}{dt}\vec{e}_{\phi}$$ (64)

As derivadas dos vetores de base podem facilmente ser calculadas usando (57) e (58). Obtemos:

$$\frac{d\vec{e}_{r}}{dt} = \dot{\phi}\vec{e}_{\phi}$$ (65)

$$\frac{d\vec{e}_{\phi}}{dt} = -\dot{\phi}\vec{e}_{r}$$ (66)

Levando este resultado a (64), obtemos

$$\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}=\left(\ddot{r}-r\dot{\phi}^2\right)\vec{e}_{r} +\left(2\dot{r}\dot{\phi}+r\ddot{\phi}\right)\vec{e}_{\phi}$$ (67)

A lei de Newton assume então a forma:

$$-\frac{GM}{r^2}\vec{e}_{r}=\left(\ddot{r}-r\dot{\phi}^2\right)\vec{e}_{r} +\left(2\dot{r}\dot{\phi}+r\ddot{\phi}\right)\vec{e}_{\phi}$$ (68)

Igualando os coeficientes dos vetores, temos as equações procuradas:

$$-\frac{GM}{r^2} = \ddot{r}-r\dot{\phi}^2$$ (69)

$$2\dot{r}\dot{\phi}+r\ddot{\phi} =$$ 0 (70)

O prosseguimento em direção à obtenção das soluções consiste, em primeiro lugar, em notar que, multiplicando a segunda, termo a termo, por $r$, podemos reescrevê-la assim:

$$2r\dot{r}\dot{\phi}+r^2\ddot{\phi}=0$$ (71)

que é a mesma coisa que

$$\frac{d}{dt}\left(r^2\dot{\phi}\right)=0$$ (72)

ou ainda

$$r^2\dot{\phi}=$$ (73)

Não é dificil identificar esta constante (considerando, por exemplo, o caso particular de órbita circular): trata-se do momento angular por unidade de massa. Logo, introduzindo a notação

$$L=mr^2\dot{\phi}$$ (74)

para o momento angular, podemos escrever

$$\dot{\phi}= \frac{L}{mr^2}.$$ (75)

Inserindo este resultado em (69) e remexendo um pouco, obtemos a equação

$$\ddot{r}+\frac{GM}{r^2}-\frac{L^2}{m^2 r^3}=0$$ (76)

Resolvendo-se esta equação diferencial para $r(t)$ e usando-a em

$$\dot{\phi}=\frac{L}{mr^2}$$ (77)

podemos determinar $\phi(t)$. Isto determina completamente o movimento.³ Vamos fazer uma análise qualitativa do movimento, usando a equação (76). Esta equação não contém o ângulo $\phi$. Pode ser pensada como a equação de movimento como visto por um observador que gira junto com a Terra, e só percebe o movimento radial. Como não é um sistema inercial, devemos estar prontos para achar forças de inércia.

De fato, multiplicando (76) por $m$, temos

$$m\ddot{r}=-\frac{GMm}{r^2}+ \frac{L^2}{mr^3}$$ (78)

ou seja, a massa vezes a aceleração (neste sistema a única aceleração é a radial) é igual à força de Newton mais uma força que é zero se o momento angular $L$ for zero. Esta força é chamada de ```força centrífuga''', e é uma força de inércia.

Multiplicando termo a termo por $\dot{r}$, obtemos

$$m\dot{r}\ddot{r}=-\frac{GMm}{r^2}\dot{r}+\frac{L^2}{mr^3}\dot{r}$$ (79)

que pode ser escrita assim:

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{m}{2}(\dot{r})^2-\frac{GMm}{r}+ \frac{L^2}{2mr^2}\right)=0$$ (80)

ou seja,

$$\left(\frac{m}{2}(\dot{r})^2-\frac{GMm}{r}+ \frac{L^2}{2mr^2}\right)=E$$ (81)

onde $E$ é uma constante. Podemos interpretar esta equação assim: a energia $E$ é constituída da energia cinética $\left(\frac{m}{2}(\dot{r})^2\right)$ mais a energia potencial, que vem em duas partes: uma atrativa, $\left(-\frac{GMm}{r^2}\right)$ e uma repulsiva, $\left(\frac{L^2}{2mr^2}\right)$. Denotando por $U(r)$ a soma das duas energias potenciais, temos o seguinte gráfico:

O movimento só é permitido nas regiões onde $E\geq U(r)$, do contrário teríamos energias cinéticas negativas, o que é impossível. Se o planeta tem energia $E$ como na figura, seu movimento radial se dá entre os dois pontos em que a linha tracejada corta a curva de $U(r)$, denotados na figura por $r_{a}$ e $r_{b}$. Há então um valor máximo e um mínimo de $r$, correspondendo ao movimento elíptico com o perihélio e o afélio sendo, respectivamente, $r_{a}$ e $r_{b}$. Notem que, para a reta da energia que tangencia a curva de de $U(x)$ (no seu mínimo), temos um único valor possível para $r$ : a órbita é circular. Vemos assim que, para um determinado momento angular fixo, a órbita de menor energia é a órbita circular.