... cadeia:¹

Este é um caso particular da regra da cadeia mais geral: sejam $\theta(x,y,z)$, $\phi(x,y,z)$ e $r(x,y,z)$ funções (diferenciáveis) e consideremos uma função $f(r,\theta, \phi)$. Naturalmente, em maior detalhe, teríamos:

$$f(r,\theta,\phi) = f(r(x,y,z),\theta(x,y,z),\phi(x,y,z))$$

de modo que, em última análise, $f$ é função de $x,y,z$. Como calcular as derivadas parciais de $f$ em relação a $x,y,z$? A resposta é a regra da cadeia (aqui em toda a sua glória):

$$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial r}\frac{\partial r} {\partial x}+\frac... ...}{\partial x} +\frac{\partial f}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial x}$$

$$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial r}\frac{\partial r} {\partial y}+\frac... ...}{\partial y} +\frac{\partial f}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial y}$$

$$\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{\partial f}{\partial r}\frac{\partial r} {\partial z}+\frac... ...}{\partial z} +\frac{\partial f}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial z}$$

Este é um dos resultados mais úteis da teoria.

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... confortos,²

O principal dos quais é: sejam $\vec{e}_{1}$, $\vec{e}_{2}$ e $\vec{e}_{3}$ vetores que constituem uma base ortonormal. Seja $\vec{v}$ um vetor qualquer. Então,

$$\vec{v}=(\vec{v}.\vec{e}_{1})\vec{e}_{1}+(\vec{v}.\vec{e}_{2})\vec{e}_{2} +(\vec{v}.\vec{e}_{3})\vec{e}_{3}$$

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... movimento.³

Para um tratamento completo deste problema, veja Sommerfeld, Mechanics, §6, pg.38.

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