Coordenadas esféricas

As coordenadas cartesianas são as melhores, mas não são as únicas. Para determinar o vetor $\vec{r}$, que vai da origem ao ponto $P$, podemos dar as três componentes cartesianas de $\vec{r}$, que vêm a ser as três coordenadas cartesianas de $P$, mas também podemos dar o tamanho do vetor, sua direção e seu sentido. Ou seja, o módulo $\vert\vec{r}\vert\equiv r$ e dois ângulos que podem ser os ângulos $\theta$ e $\phi$ da figura. As coordenadas esféricas do ponto $P$ são, então, $r$, $\theta$ e $\phi$.

A relação entre as coordenadas cartesianas e esféricas é dada por

$$x = r\sin{\theta}\cos{\phi}$$ (13)

$$y = r\sin{\theta}\sin{\phi}$$ (14)

$$z = r\cos{\theta}$$ (15)

sendo as inversas dadas por

$$r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$$ (16)

$$\phi = \arctan{\frac{y}{x}}$$ (17)

$$\theta = \arctan{\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}}$$ (18)

As coordenadas cartesianas referem-se à base fixa formada pelos vetores unitários $\vec{i}$, $\vec{j}$ e $\vec{k}$. De fato, o vetor de posição $\vec{r}$, que termina no ponto $P$, tem projeções ao longo dos eixos dessa base que são exatamente as coordenadas de $P$. Note-se que

$$\vec{\nabla}x = \vec{i}$$

$$\vec{\nabla}y = \vec{j}$$

$$\vec{\nabla}z = \vec{k}$$

Qual será a base que, para as coordenadas esféricas, desempenha o papel da base $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$? A pista está dada pelas equações acima: devemos procurar os vetores que são os gradientes das funções $r(x,y,z)$, $\theta(x,y,z)$, $\phi(x,y,z)$.

Temos:

$$\vec{\nabla}r = \frac{\vec{r}}{r}\;.$$ (19)

Logo, temos o primeiro vetor da base,

$$\vec{e}_{r}=\frac{1}{r}(x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k})$$ (20)

Analogamente, podemos calcular $\vec{e}_{\theta}$:

$$\vec{e}_{\theta} = \vec{\nabla}\left(\arctan{\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}}\right)$$

$$= \frac{1}{r^2}\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\left[xz\vec{i} +yz\vec{j}-(x^2+y^2)\vec{k}\right]$$

Finalmente, calculamos $\vec{e}_{\phi}$:

$$\vec{e}_{\phi} = \vec{\nabla}\left(\arctan{\frac{y}{x}}\right)$$

$$= \frac{-y\vec{i}+x\vec{j}}{x^2+y^2}$$

Verifica-se sem qualquer dificuldade que os vetores $\vec{e}_{r}$, $\vec{e}_{\theta}$ e $\vec{e}_{\phi}$ são ortogonais, e que $\vec{e}_{r}$ é unitário. Contudo, $\vec{e}_{\theta}$ é tal que

$$\vec{e}_{\theta}.\vec{e}_{\theta}=\frac{1}{r^2}$$ (21)

e $\vec{e}_{\phi}$ é tal que

$$\vec{e}_{\phi}.\vec{e}_{\phi}=\frac{1}{r^2\sin^{2}{\theta}}$$ (22)

Em princípio não há qualquer problema em usar uma base de vetores não unitários. Porém, uma base ortonormal tem os seus confortos,² e então preferimos usar os vetores

$$\vec{e}_{r} = \frac{1}{r}(x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k})$$ (23)

$$\vec{e}_{\phi} = \frac{-y\vec{i}+x\vec{j}}{\sqrt{x^2+y^2}}$$ (24)

$$\vec{e}_{\theta} = \frac{1}{r}\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \left[xz\vec{i}+yz\vec{j}-(x^2+y^2)\vec{k}\right]$$ (25)

Em termos desta base, seja $\vec{v}$ um vetor que começa no ponto $P$. Então podemos escrever

$$\vec{v}=(\vec{v}.\vec{e}_{r})\vec{e}_{r}+(\vec{v}.\vec{e}_{\theta})\vec{e}_{\theta} +(\vec{v}.\vec{e}_{\phi})\vec{e}_{\phi}$$ (26)

ou

$$\vec{v}=v_{r}\vec{e}_{r}+v_{\theta}\vec{e}_{\theta}+v_{\phi}\vec{e}_{\phi}$$ (27)

Como um exemplo não-trivial do uso de coordenadas curvilíneas, vamos tratar do problema de Kepler (Terra em redor do Sol). Como se sabe, a trajetória de uma planeta está contida num plano que também contém o Sol. Assim, podemos, sem perda de generalidade, considerar o problema como sendo bidimensional o que nos permite utilizar coordenadas polares no plano.

A conexão entre as coordenadas polares e as cartesianas é dada pelas fórmulas

$$x = r\cos{\phi}$$ (28)

$$y = r\sin{\phi}$$ (29)

e pelas inversas

$$r = \sqrt{x^2+y^2}$$ (30)

$$\phi = \arctan{\frac{y}{x}}$$ (31)

Seja $\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}$ um vetor de posição. Como mostra a figura, suas componentes ao longo dos eixos $x$ e $y$ são as coordenadas do ponto localizado na sua extremidade. Seja $P$ este ponto, e $P+dP$ um ponto muito próximo, de coordenadas $x+dx,y+dy,z+dz$. Se $d\vec{r}$ denota o vetor de $P$ a $P+dP$, temos

$$d\vec{r}=dx\vec{i}+dy\vec{j}$$ (32)

Se denotarmos por $ds^2$ o quadrado da distância entre $P$ e $P+dP$, temos

$$ds^2=d\vec{r}.\vec{r}=dx^2+dy^2$$ (33)

Para construir uma base apropriada para as coordenadas polares, vamos calcular $\vec{\nabla}r$ e $\vec{\nabla}\phi$:

$$\vec{\nabla}r = \frac{\partial \sqrt{x^2+y^2}}{\partial x}\vec{i} +\frac{\partial \sqrt{x^2+y^2}}{\partial y}\vec{j}$$

$$= \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\left(x\vec{i}+y\vec{j}\right)$$ (34)

ou seja,

$$\vec{\nabla}r=\cos{\phi}\vec{i}+\sin{\phi}\vec{j}$$ (35)

$$\vec{\nabla}\phi=-\frac{y}{x^2+y^2}\vec{i}+\frac{x}{x^2+y^2}\vec{j} =-\frac{\sin{\theta}}{r}\vec{i}+\frac{\cos{\phi}}{r}\vec{j}$$ (36)

Para ter uma base ortonormal, escolhemos

$$\vec{e}_{r} = \vec{\nabla}r$$ (37)

$$\vec{e}_{\phi} = r\vec{\nabla}\phi$$ (38)

isto é,

$$\vec{e}_{r} = \cos{\phi}\vec{i}+\sin{\phi}\vec{j}$$ (39)

$$\vec{e}_{\phi} = -\sin{\phi}\vec{i}+\cos{\phi}\vec{j}$$ (40)

Diferentemente de $\vec{i}$ e $\vec{j}$, os vetores da base adaptada às coordenadas polares (Cartan falava na ``base natural'' das coordenadas polares) não são constantes. Fala-se, então, numa ``base móvel'', ou ``referencial móvel'' (moving frame). Já que são funções, calculemos suas diferenciais:

$$d\vec{e}_{\phi} = -\cos{\phi}\;d\phi\vec{i}-\sin{\phi}\;d\phi\vec{j}$$ (41)

$$d\vec{e}_{r} = -\sin{\phi}\;d\phi\vec{i}+\cos{\phi}\;d\phi\vec{j}$$ (42)

Estes dois vetores podem ser expandidos na base formada por $\vec{e}_{\phi}$ e $\vec{e}_{r}$. Usando a notação de Cartan, pomos

$$d\vec{e}_{r} = \omega_{r\;r}\vec{e}_{r}+\omega_{r\;\phi}\vec{e}_{\phi}$$ (43)

$$d\vec{e}_{\phi} = \omega_{\phi\;r}\vec{e}_{r}+\omega_{\phi\;\phi}\vec{e}_{\phi}$$ (44)

Antes de prosseguir no cálculo, vamos fazer uma digressão sobre coordenadas curvilíneas num contexto um pouco mais geral.

Sejam $u_{i}$ ( $i=1,\ldots,n)$, coordenadas curvilíneas num espaço que admite um sistema de coordenadas cartesianas. A expressão das $u_{i}$ em termos das coordenadas cartesianas é conhecida. Construímos, calculando os gradientes das funções $u_{i}$ e normalizando, os vetores $\vec{e}_{i}$, ( $i=1,\ldots,n$), tais que

$$\vec{e}_{i}.\vec{e}_{j}=\delta_{ij}$$ (45)

Diferenciando ambos os membros, temos

$$d(\vec{e}_{i}.\vec{e}_{j})=0$$ (46)

ou

$$d\vec{e}_{i}.\vec{e}_{j}+\vec{e}_{i}.d\vec{e}_{j}=0$$ (47)

Ora,

$$d\vec{e}_{i}=\sum_{l}\omega_{il}\vec{e}_{l}\;,$$ (48)

logo,

$$\sum_{l}\omega_{il}\vec{e}_{l}.\vec{e}_{j}+\sum_{l}\omega_{jl}\vec{e}_{i}.\vec{e}_{l}=0$$ (49)

e, como $\vec{e}_{i}.\vec{e}_{l}=\delta_{il}$, temos

$$\sum_{l}\omega_{il}\delta_{lj}+\sum_{l}\omega_{jl}\delta_{il}=0$$ (50)

que dá

$$\omega_{ij}+\omega_{ji}=0$$ (51)

Daqui se conclui que

$$\omega_{ii} =$$ 0 (52)

$$\omega_{ij} = -\omega_{ji}$$ (53)

Vemos que as expressões em (43) podem ser simplificadas, pois $\omega_{rr}=\omega_{\phi \phi}=0$ e $\omega_{r\phi}=-\omega_{\phi r}$.

Para calcular $\omega_{\phi r}$, lembremo-nos de que, numa base ortonormal,

$$d\vec{e}_{\phi}=(d\vec{e}_{\phi}.\vec{e}{r})\vec{e}_{r}+(d\vec{e}_{\phi}).\vec{e}_{\phi}).\vec{e}_{\phi}$$ (54)

Comparando com (44), chegamos a

$$\omega_{\phi r}= d\vec{e}_{\phi}.\vec{e}_{r}$$ (55)

O produro escalar acima é facil de calcular:

$$d\vec{e}_{\phi}.\vec{e}_{r} = (-\cos{\phi}\;d\phi\vec{i}-\sin{\phi}\;d\phi \vec{j}). (\cos{\phi}\vec{i}=\sin{\phi}\vec{j})$$

$$= -\cos^2{\phi}\;d\phi-\sin^2{\phi}\;d\phi$$

$$= -d\phi$$

Conclui-se então que

$$\omega_{\phi r} = -\omega_{r \phi}=-d\phi$$ (56)

e que, portanto,

$$d\vec{e}_{r} = \vec{e}_{\phi}d\phi$$ (57)

$$d\vec{e}_{\phi} = -\vec{e}_{r}d\phi$$ (58)