Derivadas mistas

Dada uma função $f(x,y,z)$ e suas derivadas parciais $\frac{\partial f}{\partial x}$, etc, que também são funções, podemos calcular as derivadas parciais das derivadas parciais. Estas são chamadas de derivadas segundas de $f$. O seguinte resultado é extremamente importante tanto na própria matemática como nas aplicações: as derivadas mistas não dependem da ordem de derivação. Por exemplo:

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}= \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$$ (82)

Exemplo:
A função $f(x,y)=x^y$. Temos

$$\frac{\partial f}{\partial x} = yx^{y-1}$$

$$\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y}\left(yx^{y-1}\right)=x^{y-1}(1+y\log{x})$$

$$\frac{\partial f}{\partial y} = (\log{x})x^y$$

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} (\log{x})x^y=x^{y-1}(1+y\log{x})$$