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Derivadas mistas

Dada uma função $ f(x,y,z)$ e suas derivadas parciais $ \frac{\partial f}{\partial x}$, etc, que também são funções, podemos calcular as derivadas parciais das derivadas parciais. Estas são chamadas de derivadas segundas de $ f$. O seguinte resultado é extremamente importante tanto na própria matemática como nas aplicações: as derivadas mistas não dependem da ordem de derivação. Por exemplo:

$\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}= \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ (82)

Exemplo:
A função $ f(x,y)=x^y$. Temos
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle yx^{y-1}$  
$\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\partial}{\partial
y}\left(yx^{y-1}\right)=x^{y-1}(1+y\log{x})$  
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (\log{x})x^y$  
$\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\partial}{\partial x} (\log{x})x^y=x^{y-1}(1+y\log{x})$  



Henrique Fleming 2003-08-11