Mais gradiente

A eq.(9) será usada para obter a propriedade fundamental do gradiente. Podemos escrevê-la

$$df(\vec{r}) = d\vec{r}.\vec{\nabla}f$$ (11)

que é lida assim: quando o argumento de $f$ (nome bonito para $\vec{r}$) é alterado pelo vetor $d\vec{r}$, ou seja, passa de $\vec{r}$ para $\vec{r}+d\vec{r}$, a função varia de $df$. Em (11), tomemos $\vert d\vec{r}\vert=1$, o que dá, para o módulo de $df$:

$$df(\vec{r})= \vert\vec{\nabla}f\vert\cos{\theta}$$ (12)

onde $\theta$ é o ângulo entre os vetores $d\vec{r}$ e $\vec{\nabla}f$. De (12) vemos que, dado $\vert\vec{\nabla}f\vert$, o máximo acréscimo à função $f$ se dá para aquela direção de $d\vec{r}$ que corresponde ao máximo valor de $\cos{\theta}$, ou seja, $\theta=0$. Isto é, o máximo acréscimo de $f$ ocorre quando $d\vec{r}$ tem a mesma direção (e sentido) que o vetor $\vec{\nabla}f$. Em palavras, o gradiente de uma função aponta para a direção de máximo crescimento dessa função.