Exercícios

Prove que:
(1) $\delta_{ij}x_{j} =x_{i}$
(2) $\delta_{ij}\delta_{ij}=\delta_{ii}=3$
(3) Seja $\vec{e}_{i}$ o vetor unitário ao longo do eixo $i$, de modo que $\vec{r}=x_{i}\vec{e}_{i}$. Mostre que:
(a) $\vec{r}.\vec{r}=x_{i}x_{i}=x^2+y^2+z^2$
(b) Sejam $\vec{v}$ um vetor de componentes $v_{i}$ e $\vec{w}$ um vetor de componentes $w_{i}$. Então, $\vec{v}.\vec{w}=v_{i}w_{i}$.
(c)Considere a função $x_{i}$, que a cada ponto associa o valor da i-ésima coordenada do ponto, e seja $x_{j}$ a função análoga em relação à coordenada $x_{j}$. Então,

$$\frac{\partial x_{i}}{\partial x_{j}}=\delta_{ij}$$

(4) Seja $\epsilon _{ijk}$ definido assim:

$$\epsilon_{123}=\epsilon_{312}=\epsilon_{231}=1$$

$$\epsilon_{132}=\epsilon_{213}=\epsilon_{321}=-1$$

todos os outros valores sendo nulos. $\epsilon _{ijk}$ é, portanto, antissimétrico em todos os índices. Mostre que:
(a) $\epsilon_{ijk}x_{i}x_{j}=0$
(b) $\epsilon_{ijk}\delta_{jk}=0$
(c)Considere a matriz 3x3 de elementos $a_{ij}$, e seja $a$ o determinante dessa matriz. Então,

$$\epsilon_{ijk}a_{1i}a_{2j}a_{3k}= a$$