Adeus às somatórias

Considere a expressão

$$\sum_{j}A_{ij}x_{j}$$

que indica uma soma sobre todos os valores do índice $j$. Note que o índice sobre o qual se soma, $j$, vem repetido, na expressão. Isto sempre acontece, quando ocorre uma somatória. Examine o leitor a profusão de somas que foram escritas acima: achará sempre este fato: quando há uma soma sobre um certo índice, ele aparece repetido na expressão dentro da somatória. Mas então podemos fazer uma notável economia na notação simplesmente deixando de escrever o sinal de somatória! (Quem notou isto foi Einstein!). Por exemplo,

$$\sum_{j}A_{ij}x_{j} \equiv A_{ij}x_{j}$$

na notação que passaremos a usar doravante, chamada convenção de Einstein.
Exemplos:

$$\sum_{i}\sum_{j}A_{ij}B_{ij} \equiv A_{ij}B_{ij}$$

$$\sum_{i} \frac{\partial A_{i}}{\partial x_{i}} \equiv \frac{\partial A_{i}}{\partial x_{i}}$$

$$\sum_{i}\sum_{j}\sum_{k}\epsilon_{ijk}x_{i}y_{j}z_{k} \equiv \epsilon_{ijk}x_{i}y_{j}z_{k}$$

O leitor atento estará se perguntando: e se eu quiser simplesmente escrever, por exemplo, $x_{i}x_{i}$ como um símbolo que tem, para $i=1$, o valor $x_{1}x_{1}$, para $i=2$ o valor $x_{2}x_{2}$, etc, ou seja, quero expressar um termo da soma, e não a soma? Neste caso, que é comparativamente raro, convencionamos escrever

$$x_{i}x_{i}$$    (sem soma)$$$$