7.1 Definição Dada uma função , sejam ,... funções reais definidas em , tais que
A função é diferenciável se suas funções
coordenadas o forem. Uma função diferenciável
é chamada de mapeamento
de
em
. Note que
.
7.2 Definição Se é uma curva em e é um mapeamento, então a função composta é uma curva em denominada imagem de sob .
7.3 Exemplo
(1) Considere o mapeamento
tal
que
Em linhas gerais, o cálculo diferencial aproxima objetos contí nuos por objetos lineares. Nesta linha, dado um mapeamento , vamos definir uma aproximação linear para ele, perto de um ponto .
É possí vel atingir todos os pontos de através de retas , partindo de e escolhendo adequadamente e . Da mesma forma pode ser ``varrido'' pelas imagens de por , ou seja,
7.4 Definição Seja um mapeamento. Seja um vetor tangente a em , e denotemos por a velocidade inicial da curva
7.5 Proposição Seja um mapeamento de em . Se é um vetor tangente a em , então
Prova: Vamos tomar para fixar as idéias. Então
7.6 Corolário Se é um mapeamento, então em cada ponto de , o mapeamento tangente
7.7 Corolário Seja
um mapeamento. Se
é a imagem da curva em
, então
.
Prova:
Sejam , e , os referenciais naturais de e respectivamente. Então,
7.8 Corolário Se é um mapeamento de em , então
Seja um espaç o vetorial, com base . Seja um outro espaç o vetorial, com base . Seja linear. Chama-se elementos de matriz de em relação às bases e os números na equação
7.9 Definição Um mapeamento é regular se, para todo , o mapeamento tangente for (injetor).11
Como mapeamentos tangentes são lineares, segue diretamente da álgebra linear que as seguintes
condições são equivalentes:
(1) é injetora.
(2)
(3) A matriz jacobiana de em tem posto (que é a dimensão
de
).
A seguinte propriedade de transformações lineares será útil:se os espaç os vetoriais e têm a mesma dimensão, então é injetora se e só se ela for sobrejetora.
Um mapeamento que tem um mapeamento inverso é chamado de difeomorfismo. Lembre-se de que estamos exigindo de um mapeamento que seja diferenciável. Quando considerarmos aplicações mais gerais, um difeomorfismo será uma aplicação diferenciável que possui uma inversa também diferenciável.
7.10 Teorema: Seja um mapeamento entre espaç os euclideanos de mesma dimensão. Se é injetora em um ponto , existe um aberto contendo tal que a restrição de a é um difeomorfismo de sobre um aberto .
Este teorema, de demonstração difí cil, é chamado de teorema da função inversa.
7.11 Definição Funções tangentes.
Seja um aberto; um ponto de e
O nome se justifica. Tomemos, para simplificar, o caso em que . Então
o limite da definição diz que, se e são tangentes em , teremos,
próximo a ,
7.12 Proposição Suponhamos que, dentre as funções tangentes,
em , à função , existam duas funções lineares, e . Isto
é, suponhamos que
0 | |||
0 |
7.14 Definição Dizemos que uma aplicação contínua de em é diferenciável no ponto se existir uma aplicação linear de tal que seja tangente a em . Acabamos de ver que esse mapeamento, quando existe, é único. é denominado derivada de no ponto , e é denotado por ou .
Exemplos:
1.A aplicação
, de
é diferenciável.
Por que? Qual é a sua diferencial?
A função pode ser escrita . Ela é linear, pois
0 | |||
0 | |||
7.15 Continuidade de uma aplicação linear Sejam e espaços vetoriais com normas definidas e uma aplicação linear de em . Afim de que seja contínua, é necessário e suficiente que exista tal que, para todo ,
7.16 Teorema Se a aplicação contínua de
em
é diferenciável no ponto , a derivada
é uma aplicação linear
contínua de
.
Dem:A continuidade de significa que, dado
, existe
tal que
7.17 Teorema A regra da cadeia.
Sejam ,, três espaços vetoriais normados, uma vizinhança aberta de , uma aplicação contínua de em , , uma vizinhança aberta de em , uma aplicação contínua de em . Então, se é diferenciável em e é diferenciável em , a aplicação é diferenciável em , e se tem