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As 1-formas são membros de uma família maior, a das
formas diferenciais. Existem 2-formas, 3-formas, etc. De
uma maneira informal, uma forma diferencial é uma soma de termos da
forma
, ou
, onde o produto das
diferenciais satisfaz a regra de alternação:
Como conseqüência desta regra, temos
Catálogo:
0-forma: (função diferenciável)
1-forma:
2-forma:
3-forma:
Em
não há outros tipos de formas. Vamos introduzir
operações envolvendo formas. Já sabemos somar 1-formas:
Adições correspondentes existem para 2-formas e 3-formas.
Multiplicação de formas: se faz usando a regra da alternação. Para
ressaltar as propriedades desse produto especial, vamos passar a
denotar o produto , por exemplo, por
.
Exemplo
(1) Sejam
Então,
De uma maneira geral, o produto de duas 1-formas é uma 2-forma.
(2) Sejam e como acima, e
. Então
Mas
e
Logo,
Seja como acima, e seja a 2-forma
. Temos
6.2 Lema Se e são 1-formas, então
Dem: Trivial.
6.3 Definição Se
é uma 1-forma em
, a derivada exterior de é a 2-forma
onde é a diferencial da função .
Seja
. Então,
Mas,
Expandindo e levando em conta as regras do produto exterior, temos
6.4 Teorema Sejam e funções, e 1-formas.
(1)
(2)
(3)
Dem: (1) e (2) são muito simples e ficam como exercícios.
(3) É suficiente provar a fórmula para
e
, onde
e são quaisquer das coordenadas , , . Por exemplo,
, . Então,
Mas
o que prova (3).
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Henrique Fleming
2003-08-11