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A primeira aplicação do teorema importantíssimo
(eq.(128)) é o cálculo do duplo produto vetorial,
.
Temos:
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(129) |
Por outro lado,
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(130) |
de modo que
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(131) |
Nesta última equação temos a combinação
, que é a mesma coisa que
. Pelo teorema importantíssimo,
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(132) |
Levando este resultado à eq.(131), temos
ou seja, finalmente,
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(134) |
Para a segunda aplicação vamos introduzir o ``vetor''
, cujas componentes são dadas por
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(135) |
onde representa, claramente, a -ésima coordenada cartesiana
. Usaremos também uma abreviação mais drástica:
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(136) |
Com isto podemos introduzir o divergente de um campo vetorial. Sejam
as componentes cartesianas de um campo vetorial. O campo
escalar
é descrito por
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(137) |
Um desafio mais interessante é o tratamento do operador . O
rotacional do campo vetorial é em geral apresentado em
termos de suas coordenadas cartesianas, dadas pelo determinante
simbólico:
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(138) |
que significa
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(139) |
Para a nossa notação é útil lembrar que
. Por isso,
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(140) |
Como mais uma aplicação simples, vamos mostrar que
.
|
(141) |
Para mostrar que isto é zero, vamos recorrer a outro resultado
importante. Seja tal que
, e
tal que
. Dizemos que é simétrica, e
que é antissimétrica. Vamos mostrar que
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(142) |
(Note que um caso particular desta relação é que
, pois
enquanto
).
A prova é esta:
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(143) |
pela antissimetria de . Agora, mudamos os nomes dos índices:
aquele que era denotado por passa a ser denotado por , e
vice-versa. A expressão anterior então fica, repetindo-a desde o
começo:
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(144) |
onde, na última igualdade, usamos a simetria de . Comparando os
dois extremos, vemos que temos uma expressão , cuja única
solução é 0. Logo,
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(145) |
Um ponto que em geral causa perplexidade é a ``mudança de nome''
dos índices. Isto é uma coisa muito simples, se se restaura,
por um momento o símbolo de somatório:
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(146) |
ou seja, a letra que designa a soma é arbitrária. Podemos
trocá-la à vontade. Por isso,
.
Voltando à eq.(141), temos
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(147) |
pois se aprende no Cálculo Diferencial e Integral que a derivada
mista não depende da ordem de derivação, ou seja, por exemplo,
|
(148) |
Logo, a eq.(141) nos diz que
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(149) |
qualquer que seja .
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Henrique Fleming
2003-08-11