next up previous
Next: Aplicações ``peso-pesado'' Up: Teorema importantíssimo Previous: Teorema importantíssimo

Aplicações

A primeira aplicação do teorema importantíssimo (eq.(128)) é o cálculo do duplo produto vetorial, $ \vec{V}\times(\vec{W}\times\vec{U})$. Temos:

$\displaystyle \left(\vec{V}\times(\vec{W}\times\vec{U})\right)_i=\epsilon_{ijk} V_j(\vec{W}\times\vec{U})_k$ (129)

Por outro lado,

$\displaystyle (\vec{W}\times\vec{U})_k=\epsilon_{klm}W_lU_m$ (130)

de modo que

$\displaystyle \left(\vec{V}\times(\vec{W}\times\vec{U})\right)_i=\epsilon_{ijk} V_j \epsilon_{klm}W_lU_m$ (131)

Nesta última equação temos a combinação $ \epsilon_{ijk}
\epsilon_{klm}$, que é a mesma coisa que $ \epsilon_{kij}\epsilon_{klm}$. Pelo teorema importantíssimo,

$\displaystyle \epsilon_{kij}\epsilon_{klm}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}$ (132)

Levando este resultado à eq.(131), temos
$\displaystyle \left(\vec{V}\times(\vec{W}\times\vec{U})\right)_i$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})V_j
W_lU_m$ (133)
  $\displaystyle =$ $\displaystyle W_iV_jU_j-U_iV_jW_J$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle (\vec{V}.\vec{U})W_i-(\vec{V}.\vec{W})U_i$  

ou seja, finalmente,

$\displaystyle \vec{V}\times(\vec{W}\times\vec{U})=(\vec{V}.\vec{U})\vec{W}-(\vec{V}.\vec{W})\vec{U}$ (134)

Para a segunda aplicação vamos introduzir o ``vetor'' $ \vec{\nabla}$, cujas componentes são dadas por

$\displaystyle (\vec{\nabla})_i=\frac{\partial}{\partial x_i}$ (135)

onde $ x_i$ representa, claramente, a $ i$-ésima coordenada cartesiana $ i=1,2,3$. Usaremos também uma abreviação mais drástica:

$\displaystyle (\vec{\nabla})_i=\partial_i$ (136)

Com isto podemos introduzir o divergente de um campo vetorial. Sejam $ V_i(x,y,z)$ as componentes cartesianas de um campo vetorial. O campo escalar $ div\;\vec{V}$ é descrito por

$\displaystyle div\;\vec{V}=\vec{\nabla}.\vec{V}=\partial_iV_i$ (137)

Um desafio mais interessante é o tratamento do operador $ rot$. O rotacional do campo vetorial $ \vec{V}$ é em geral apresentado em termos de suas coordenadas cartesianas, dadas pelo determinante simbólico:

$\displaystyle rot\;\vec{V}=\left(\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}...
...l y} & \frac{\partial}{\partial z} \\  V_{x} & V_{y} & V_{z} \end{array}\right)$ (138)

que significa

$\displaystyle rot\;\vec{V}=\vec{i}\left(\frac{\partial V_z}{\partial y}-\frac{\...
...{k}\left(\frac{\partial V_y}{\partial x}-\frac{\partial V_x}{\partial y}\right)$ (139)

Para a nossa notação é útil lembrar que $ rot\;\vec{V}=\vec{\nabla}\times\vec{V}$. Por isso,

$\displaystyle (\vec{\nabla}\times\vec{V})_i=\epsilon_{ijk}\partial_jV_k$ (140)

Como mais uma aplicação simples, vamos mostrar que $ rot\;grad=0$.

$\displaystyle (\vec{\nabla}\times\vec{\nabla}f)_i=\epsilon_{ijk}\frac{\partial}...
... f}{\partial x_k}=\epsilon_{ijk} \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_k}$ (141)

Para mostrar que isto é zero, vamos recorrer a outro resultado importante. Seja $ A_{ij}$ tal que $ A_{ij}=-A_{ji}$, e $ S_{ij}$ tal que $ S_{ij}=S_{ji}$. Dizemos que $ S$ é simétrica, e que $ A$ é antissimétrica. Vamos mostrar que

$\displaystyle S_{ij}A_{ij}=0$ (142)

(Note que um caso particular desta relação é que $ \epsilon_{ijk}\delta_{ij}=0$, pois $ \delta_{ij}=\delta_{ji}$ enquanto $ \epsilon_{ijk} =- \epsilon_{jik}$). A prova é esta:

$\displaystyle S_{ij}A_{ij}=-S_{ij}A_{ji}$ (143)

pela antissimetria de $ A$. Agora, mudamos os nomes dos índices: aquele que era denotado por $ i$ passa a ser denotado por $ j$, e vice-versa. A expressão anterior então fica, repetindo-a desde o começo:

$\displaystyle S_{ij}A_{ij}=-S_{ij}A_{ji}=-S{ji}A_{ij}=-S{ij}A_{ij}$ (144)

onde, na última igualdade, usamos a simetria de $ S$. Comparando os dois extremos, vemos que temos uma expressão $ X=-X$, cuja única solução é 0. Logo,

$\displaystyle S_{ij}A_{ij}=0$ (145)



Um ponto que em geral causa perplexidade é a ``mudança de nome'' dos índices. Isto é uma coisa muito simples, se se restaura, por um momento o símbolo de somatório:

$\displaystyle \sum_{i=1}^3S_i=\sum_{j=1}^3S_j$ (146)

ou seja, a letra que designa a soma é arbitrária. Podemos trocá-la à vontade. Por isso, $ S_{ij}A_{ij}=S_{ji}A_{ji}=S_{lm}A_{lm}$.



Voltando à eq.(141), temos

$\displaystyle \epsilon_{ijk} \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_k}=0$ (147)

pois se aprende no Cálculo Diferencial e Integral que a derivada mista não depende da ordem de derivação, ou seja, por exemplo,

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ (148)

Logo, a eq.(141) nos diz que

$\displaystyle rot \; grad \; f=0$ (149)

qualquer que seja $ f$.
next up previous
Next: Aplicações ``peso-pesado'' Up: Teorema importantíssimo Previous: Teorema importantíssimo
Henrique Fleming 2003-08-11