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A primeira aplicação do teorema importantíssimo
(eq.(128)) é o cálculo do duplo produto vetorial,
.
Temos:
![$\displaystyle \left(\vec{V}\times(\vec{W}\times\vec{U})\right)_i=\epsilon_{ijk} V_j(\vec{W}\times\vec{U})_k$](img341.png) |
(129) |
Por outro lado,
![$\displaystyle (\vec{W}\times\vec{U})_k=\epsilon_{klm}W_lU_m$](img342.png) |
(130) |
de modo que
![$\displaystyle \left(\vec{V}\times(\vec{W}\times\vec{U})\right)_i=\epsilon_{ijk} V_j \epsilon_{klm}W_lU_m$](img343.png) |
(131) |
Nesta última equação temos a combinação
, que é a mesma coisa que
. Pelo teorema importantíssimo,
![$\displaystyle \epsilon_{kij}\epsilon_{klm}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}$](img346.png) |
(132) |
Levando este resultado à eq.(131), temos
ou seja, finalmente,
![$\displaystyle \vec{V}\times(\vec{W}\times\vec{U})=(\vec{V}.\vec{U})\vec{W}-(\vec{V}.\vec{W})\vec{U}$](img351.png) |
(134) |
Para a segunda aplicação vamos introduzir o ``vetor''
, cujas componentes são dadas por
![$\displaystyle (\vec{\nabla})_i=\frac{\partial}{\partial x_i}$](img352.png) |
(135) |
onde
representa, claramente, a
-ésima coordenada cartesiana
. Usaremos também uma abreviação mais drástica:
![$\displaystyle (\vec{\nabla})_i=\partial_i$](img355.png) |
(136) |
Com isto podemos introduzir o divergente de um campo vetorial. Sejam
as componentes cartesianas de um campo vetorial. O campo
escalar
é descrito por
![$\displaystyle div\;\vec{V}=\vec{\nabla}.\vec{V}=\partial_iV_i$](img358.png) |
(137) |
Um desafio mais interessante é o tratamento do operador
. O
rotacional do campo vetorial
é em geral apresentado em
termos de suas coordenadas cartesianas, dadas pelo determinante
simbólico:
![$\displaystyle rot\;\vec{V}=\left(\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}...
...l y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ V_{x} & V_{y} & V_{z} \end{array}\right)$](img359.png) |
(138) |
que significa
![$\displaystyle rot\;\vec{V}=\vec{i}\left(\frac{\partial V_z}{\partial y}-\frac{\...
...{k}\left(\frac{\partial V_y}{\partial x}-\frac{\partial V_x}{\partial y}\right)$](img360.png) |
(139) |
Para a nossa notação é útil lembrar que
. Por isso,
![$\displaystyle (\vec{\nabla}\times\vec{V})_i=\epsilon_{ijk}\partial_jV_k$](img362.png) |
(140) |
Como mais uma aplicação simples, vamos mostrar que
.
![$\displaystyle (\vec{\nabla}\times\vec{\nabla}f)_i=\epsilon_{ijk}\frac{\partial}...
... f}{\partial x_k}=\epsilon_{ijk} \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_k}$](img364.png) |
(141) |
Para mostrar que isto é zero, vamos recorrer a outro resultado
importante. Seja
tal que
, e
tal que
. Dizemos que
é simétrica, e
que
é antissimétrica. Vamos mostrar que
![$\displaystyle S_{ij}A_{ij}=0$](img371.png) |
(142) |
(Note que um caso particular desta relação é que
, pois
enquanto
).
A prova é esta:
![$\displaystyle S_{ij}A_{ij}=-S_{ij}A_{ji}$](img374.png) |
(143) |
pela antissimetria de
. Agora, mudamos os nomes dos índices:
aquele que era denotado por
passa a ser denotado por
, e
vice-versa. A expressão anterior então fica, repetindo-a desde o
começo:
![$\displaystyle S_{ij}A_{ij}=-S_{ij}A_{ji}=-S{ji}A_{ij}=-S{ij}A_{ij}$](img375.png) |
(144) |
onde, na última igualdade, usamos a simetria de
. Comparando os
dois extremos, vemos que temos uma expressão
, cuja única
solução é 0. Logo,
![$\displaystyle S_{ij}A_{ij}=0$](img371.png) |
(145) |
Um ponto que em geral causa perplexidade é a ``mudança de nome''
dos índices. Isto é uma coisa muito simples, se se restaura,
por um momento o símbolo de somatório:
![$\displaystyle \sum_{i=1}^3S_i=\sum_{j=1}^3S_j$](img377.png) |
(146) |
ou seja, a letra que designa a soma é arbitrária. Podemos
trocá-la à vontade. Por isso,
.
Voltando à eq.(141), temos
![$\displaystyle \epsilon_{ijk} \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_k}=0$](img379.png) |
(147) |
pois se aprende no Cálculo Diferencial e Integral que a derivada
mista não depende da ordem de derivação, ou seja, por exemplo,
![$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$](img380.png) |
(148) |
Logo, a eq.(141) nos diz que
![$\displaystyle rot \; grad \; f=0$](img381.png) |
(149) |
qualquer que seja
.
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Henrique Fleming
2003-08-11