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Aqui veremos resultados que são difíceis, ou muito trabalhosos,
de obter por outros métodos. Em primeiro lugar, vamos mostrar (como
aquecimento) que
.
![$\displaystyle div\;rot\;\vec{V}=\vec{\nabla}.(\vec{\nabla}\times\vec{V})= \part...
...rtial_i \epsilon_{ijk} \partial_j V_k= \epsilon_{ijk} \partial_i \partial_j V_k$](img384.png) |
(150) |
Ora,
![$\displaystyle \epsilon_{ijk} \partial_i \partial_j =0$](img385.png) |
(151) |
pois
é antissimétrico pela troca de índices
, e
. Segue que
![$\displaystyle div\; rot\; \vec{V}=0$](img388.png) |
(152) |
qualquer que seja
.
Seja
um campo vetorial. Por exemplo, o campo elétrico. Na
teoria de Maxwell precisamos calcular
. Com o nosso
método, isso é simples:
Resta interpretar o resultado. A última linha pode ser escrita:
![$\displaystyle \partial_i\partial_mE_m-\partial_j\partial_j E_i=\partial_i(\vec{...
...E})-\vec{\nabla}^2E_i=\left(grad\;div\;\vec{E} -\vec{\nabla}^2 \vec{E}\right)_i$](img398.png) |
(154) |
Logo,
![$\displaystyle \vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{E})= grad\;div\;\vec{E}-\vec{\nabla}^2\vec{E}$](img399.png) |
(155) |
Outra relação de grande importância na eletrodinâmica é
envolve o cálculo de
.
Finalmente, vamos ao nosso tour de force: calcular
.
![$\displaystyle \left(\vec{\nabla}(\vec{A}.\vec{B})\right)_i= \partial_i(A_j B_j)=(\partial_i A_j)B_j+A_j(\partial_i B_j)$](img407.png) |
(157) |
Temos, preliminarmente, que
de maneira que, também preliminarmente,
![$\displaystyle \vec{\nabla}(\vec{A}.\vec{B})= (\vec{B}.\vec{\nabla})\vec{A} +(\vec{A}.\vec{\nabla})\vec{B}+ ...$](img413.png) |
(160) |
Para calcular os termos adicionais, notemos que
![$\displaystyle \partial_iA_j-\partial_j A_i=\epsilon_{kij}\epsilon_{klm} \partial_l A_m$](img414.png) |
(161) |
como o leitor, a esta altura, poderá facilmente verificar. Logo,
Analogamente,
![$\displaystyle A_j(\partial_i B_j-\partial_j B_i)=(\vec{A}\times rot\;\vec{B})_i$](img418.png) |
(163) |
Juntando estes termos à eq.(160), temos
![$\displaystyle \vec{\nabla}(\vec{A}.\vec{B})= (\vec{B}.\vec{\nabla})\vec{A} +(\v...
...vec{\nabla})\vec{B}+ (\vec{B}\times rot\;\vec{A}) +(\vec{A}\times rot\;\vec{B})$](img419.png) |
(164) |
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Henrique Fleming
2003-08-11