O produto vetorial

O produto vetorial de $\vec{V}$ por $\vec{W}$, denotado por $\vec{V}\times \vec{W}$ é escrito assim:

$$(\vec{V}\times\vec{W})_{i}=\epsilon_{ijk} V_j W_k$$ (124)

Como um vetor é, nessas notas, expresso por suas componentes, o produto vetorial, que é um vetor, é definido expressando-se sua componente genérica em termos das componentes dos fatores $\vec{V}$ e $\vec{W}$. Recomendo ao leitor que verifique esta definição fazendo o cálculo explícito das componentes.

O produto vetorial é normalmente apresentado em termos de um determinante simbólico:

$$\vec{V}\times\vec{W}=\left(\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ V_{x} & V_{y} & V_{z} \\ W_{x} & W_{y} & W_{z} \end{array}\right)$$ (125)

cujo significado é

$$\vec{V}\times\vec{W}=\vec{i}\left(V_yW_z-W_yV_z\right)+\vec{j}\left(W_xV_z-W_zV_x\right) +\vec{k}\left(V_xW_y-V_yW_x\right)$$ (126)

Da eq.(124) temos, por exemplo,

$$(\vec{V}\times\vec{W})_x=(\vec{V}\times\vec{W})_1=\epsilon_{1jk} V_jW_k=\epsilon_{123}V_2W_3+\epsilon_{132}V_3W_2=V_yW_z-V_zW_y$$ (127)

em acordo com a expressão acima. O leitor deve realizar este cálculo em detalhe, mostrando que a soma em $j$ e $k$ se reduz, efetivamente, aos dois termos presentes na eq.(127).