O teorema do divergente

O teorema do divergente, ou de Gauss, é o instrumento matemático que melhor permite visualizar que tipos de campos vetoriais possuem divergente não-nulo. Vamos enunciá-lo num contexto concreto. O problema é o seguinte: a figura abaixo representa uma região cúbica do espaço por onde flui uma corrente de água. Trata-se de um cubo geométrico, sem existência física: uma porção do espaço. Queremos calcular quanta água sai do cubo num intervalo de tempo $\delta t$, ou, mais precisamente, a diferença entre a quantidade de água que sai e a que entra. Naturalmente, supõe-se que a única maneira de a água sair do cubo, ou entrar nele, é atravessando uma de suas faces.

Os eixos coordenados são escolhidos de maneira que sejam perpendiculares às faces. O centro do cubo é o ponto de coordenadas ($0,0,0$). Assim, os vetores $\vec{\i}$, $\vec{\j}$,$\vec{k}$, são vetores unitários normais, cada um a um par de faces. Tomemos, em cada face, a normal externa. Então, por exemplo, na face em $dy/2$, a normal externa $\vec{n}$ será $\vec{\j}$, ao passo que, na face em $-dy/2$, $\vec{n}$ será $-\vec{\j}$.

Suponhamos que as faces do cubo sejam suficientemente pequenas para que o valor da velocidade da água nos vários pontos de uma face possam ser considerados iguais. (Se não for, diminua-se o cubo!). Na figura abaixo vemos como calcular a quantidade de água que atravessa uma face, no tempo $\delta t$.

A quantidade

$$\vec{v}.\vec{n} dS$$ (99)

é o volume da região tracejada. Na unidade de tempo, toda a água que estiver aí dentro atravessará $dS$, e nenhuma outra. Então, se $dS$ for a superfície de uma face do cubo e $\vec{n}$ for a normal externa. no intervalo de tempo $\delta t$, um volume de água dado por

$$\vec{v}.\vec{n}dS \delta t$$ (100)

atravessará essa face. Consideremos a face localizada em $dy/2$. O volume de água que atravessará a face é

$$\vec{v}(0, \frac{dy}{2},0).\vec{\j}dS\delta t = v_{y}(0,\frac{dy}{2},0) dS \delta t.$$ (101)

Como $dS=dx dz$, isto é igual a

$$v_{y}(0,\frac{dy}{2},0)dx dz \delta t$$ (102)

Usando a fórmula dos acréscimos finitos

$$v_{y}(0,\frac{dy}{2},0)=v_{y}(0,0,0)+\frac{dy}{2}\frac{\partial v_{y}}{\partial y}$$

de modo que (102) pode ser escrita

$$v_{y}(0,\frac{dy}{2},0)dx dz \delta t=\left(v_{y}(0,0,0)+\frac{dy}{2}\frac{\partial v_{y}}{\partial y}\right)dx dz \delta t\;.$$ (103)

A face oposta contribui com

$$\left(-v_{y}(0,0,0)+\frac{dy}{2}\frac{\partial v_{y}}{\partial y}\right)dx dz \delta t\;.$$ (104)

de modo que a soma das duas é

$$\frac{\partial v_{y}}{\partial y}dx dy dz \delta t\;.$$ (105)

Cada par de faces tem uma contribuição análoga. Somando tudo, temos

$$\;\;=\;\;\left(\frac{\partial v_{x}}{\partial x}+\frac{\partial v_{y}}{\partial y}+\frac{\partial v_{z}}{\partial z}\right)dx dy dz \delta t$$ (106)

Podemos então escrever que, por unidade de tempo,

$$\mbox{fluxo total de $\vec{v}$\ nas faces} \;\;= \vec{\nabla}.\vec{v}\;\; \times\;\;$$ (107)

Esta é a essência do teorema do divergente. Para um volume delimitado por uma superfície fechada arbitrária, tomando-se em cada ponto da superfície a normal externa, temos

$$\int \vec{v}.\vec{n} dS = \int \vec{\nabla}.\vec{v} dV$$ (108)

Chega-se a este resultado ``reconstruíndo'' o volume (de forma arbitrária), com cubinhos, como se fossem peças de um Lego. Para cada cubinho vale o teorema, portanto vale para a soma. Note-se que a superfície na qual se calcula o fluxo é a superfície externa, pois cada superfície interna de um cubinho pertence a dois cubinhos, e a contribuição de uma ao fluxo cancela a da outra, já as normais têm sentido oposto.

Note-se que, tendo-se usado, da água, só a propriedade de que suas velocidades formam um campo vetorial diferenciável, o teorema é, na realidade, válido para quaisquer campos vetoriais diferenciáveis. Vamos fazer uso amplo dele para os campos elétrico e magnético, por exemplo.