Eixos não ortogonais

Quando se utilizam bases não ortogonais, uma surpresa aparece: um vetor tem dois tipos diferentes de componentes, chamadas componentes covariantes e componentes contravariantes.

Isto vem do fato, como mostra a figura, de que podemos identificar um vetor através de suas projeções nos eixos, de duas maneiras diferentes: por projeções ortogonais e projeções paralelas (em eixos ortogonais essas duas projeções coincidem). O vetor $OP$, referido a eixos oblíquos, pode ser caracterizado tanto pelo par de números $(x^1,x^2)$, obtidos por projeção de $P$ paralelamente aos eixos, quanto pelo par de números $(x_1,x_2)$, obtidos por projeção ortogonal.$(x^1,x^2)$ são as coordenadas contravariantes do vetor $OP$. $(x_1,x_2)$ são as coordenadas covariantes. A relação entre elas é obtida facilmente:

$$\ x_1 = x^1 + x^2 \cos{\alpha}$$ (41)

$$x_2 = x^2 + x^1 \cos{\alpha}$$ (42)

assim como a relação inversa:

$$\ x^1 = \frac{1}{\sin^2{\alpha}}(x_1-x_2\cos{\alpha})$$ (43)

$$x^2 = \frac{1}{\sin^2{\alpha}}(x_2 - x_1 \cos{\alpha})$$ (44)

O comprimento $\overline{OP}$ do vetor, em termos de suas componentes contravariantes, é dado por

$$\ \overline{OP}^2=(x^1)^2+(x^2)^2+2x^1x^2\cos{\alpha}=\sum_{i,j}g_{ij}x^ix^j$$ (45)

onde $g_{ij}$ tem os seguintes valores, tabulados como uma matriz:

$$\ g_{ij}= \left(\begin{array}{clcr} g_{11} & g_{12}\\ g... ...} 1 & \cos{\alpha}\\ \cos{\alpha} & 1 \end{array} \right)$$ (46)

Usando (77), temos a expressão para $\overline{OP}$ em termos das componentes covariantes:

$$\ \overline{OP}^2=\frac{1}{\sin^2{\alpha}}\left((x_1)^2+(x_2)^2-2x_1x_2\cos{\alpha} \right)=\sum_{i,j}g^{ij}x_ix_j$$ (47)

com

$$\ g^{ij}=\frac{1}{\sin^2{\alpha}} \left(\begin{array}{clcr} 1 & -\cos{\alpha}\\ -\cos{\alpha} & 1 \end{array} \right)$$ (48)

Vamos, a partir de agora,voltar a usar a notação abreviada: em expressões do tipo

$$\sum_{j}g_{ij}x^j$$

omitiremos o símbolo da soma ($\Sigma$). Toda vez que tivermos um índice repetido, como em $g_{ij}x^j$ (o $j$ é repetido) somaremos sobre esse índice, como se houvesse o $\sum_j$ na frente. Então a Eq.(42) pode ser escrita

$$\ x_i = g_{ij}x^j$$ (49)

e a Eq.(77),

$$\ x^i=g^{ij}x_j$$ (50)

É claro então que

$$\ x_i=g_{ij}x^j=g_{ij}g^{jl}x_l$$ (51)

e, conseqüentemente,

$$\ g_{ij}g^{jl}=\delta_{i}^{l}$$ (52)

Isto é, a matriz de elementos $g_{ij}$ é a inversa da matriz de elementos $g^{ij}$. Se introduzirmos vetores unitários $\vec{e}_1$ ao longo do eixo $1$ e $\vec{e}_2$ ao longo do eixo $2$, teremos

$$\ \vec{x}=x^{i}\vec{e}_i$$ (53)

que define as componentes contravariantes. As componentes covariantes são definidas por

$$\ x_i = \vec{x}.\vec{e}_i$$ (54)

Usando (53) em (54), temos

$$\ x_i=(x^j\vec{e}_j).\vec{e}_i=x^j(\vec{e}_i.\vec{e}_j)$$ (55)

logo, comparando com (49),

$$\ g_{ij}=\vec{e}_i.\vec{e}_j$$ (56)