Eletrodinâmica

Embora mesons escalares sejam simples demais, eles são convenientes para expor, na forma mais simples, a estratégia da demonstração. Passemos agora ao caso da Eletrodinâmica, onde as feições do caso geral já se tornarão claras. Além disso, as conclusões se aplicarão também ao caso dos mesons vetoriais. Considere a equação (3). Ela exibe a variação de forma de um campo escalar, um ingrediente essencial para a discussão prévia. A variação de forma de um campo vetorial $A_{s}$ é dada por [6]

$$\delta A_{s}=-\xi^m \partial_m A_{s} -A_{m}(\partial_s\xi^m) \; .$$ (18)

Isto induz na ação $S$ a variação

$$\delta S = \int d^4x\sqrt{-g} \left\{\frac{\partial \mathcal{L}} {\partial A... ...partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_l A_{s})}\partial_l \delta A_{s}\right\}$$ (19)

$$+ \int d^4 x\left\{\frac{\partial(\sqrt{-g}\;\mathcal{L})}{\partial... ...partial \partial_l g^{ij})}\frac{\partial}{\partial x^{l}}\delta g^{ij}\right\}$$

$$+ \int d\sigma_l \xi^l \sqrt{-g}\; \mathcal{L} \; .$$

Procedendo como antes,

$$\delta S = \int d^4x\sqrt{-g} \left\{\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_... ...ac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_l A_{s})}\right]\right\}\delta A_{s}$$ (20)

$$+ \int d^4 x\left[\frac{\partial\left(\sqrt{-g}\; \mathcal{L}\right... ...sqrt{-g}\; \mathcal{L}\right)}{\partial(\partial_l g^{ij})}\right]\delta g^{ij}$$

$$+ \int d\sigma_l\left[\sqrt{-g}\frac{\partial \mathcal{L} }{\partial(\partial_l \phi)}\right]\delta \phi$$

$$+ \int d\sigma_l\frac{\partial(\sqrt{-g} \mathcal{L})}{\partial(\partial_l g^{ij})}\delta g^{ij} + \int d\sigma_l \xi^l\sqrt{-g}\; \mathcal{L} \; .$$

Suponha que a lagrangeana não dependa de $\partial_l g^{ij}$. Então, usando as equações de movimento para $A_{s}$ e a definição do tensor de momento-energia métrico, obtemos

$$\delta S = \frac{1}{2} \int d^4x\sqrt{-g} T_{ij}\delta g^{ij}$$ (21)

$$+ \int d\sigma_l\sqrt{-g}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_l A_{s})}\delta A_{s}$$

$$+ \int d\sigma_l \xi^l \sqrt{-g} \mathcal{L}$$

Vamos estudar agora o segundo termo em detalhe. É melhor escrevê-lo na forma

$$\int d^4x\partial_l\left\{\sqrt{-g}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_l A_{s})}\delta A_{s}\right\} =$$

$$-\int d^4x\partial_l\left\{\sqrt{-g}\frac{\partial \mathca... ...{\partial(\partial_l A_{s})}(\partial_m A_{s})\xi^m\right\}-$$

$$-\int d^4x\partial_l\left\{\sqrt{-g}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_l A_{s})}A_{m}\partial_s\xi^m\right\}$$ (22)

onde fizemos uso da variação de forma de $A_{s}$. Levando isto à equação (3),

$$\delta S = \int d^4x\sqrt{-g} T_{ij}\delta g^{ij}$$ (23)

$$- \int d^4x \partial_l \left\{\sqrt{-g}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_lA_{s})}(\partial_m A_{s})\xi^m\right\}$$

$$- \int d^4x \partial_l\left\{\sqrt{-g}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_l A_{s})}A_m \partial_s \xi^m\right\}$$

$$+ \int d\sigma_l \xi^l \sqrt{-g}\; \mathcal{L} \; .$$

Transformando a segunda integral numa integral de superfície e usando (3),

$$\delta S = \int d^4x\sqrt{-g} T^{k}_{i;k}\xi^i$$ (24)

$$+ \int d\sigma_l\sqrt{-g}T^{l}_{m}\xi^{m}-\int d\sigma_l\sqrt{-g}\Theta^{l}_{m}\xi^{m}$$

$$- \int d^4x \partial_l\left\{ \sqrt{-g}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_l A_{s})}A_m \partial_s \xi^{m}\right\}$$

onde usamos

$$\Theta^{l}_{\; m}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_l A_{s})}\partial_mA_{s}-\delta^{l}_{m} \mathcal{L}$$ (25)

Assim

$$\delta S = \int d^4x\sqrt{-g} T^{k}_{i\; ;k}\xi^{i}+ \int ... ...{\partial(\partial_l A_{s})}A_m\partial_s\xi^m\right\} \; .$$ (26)

Usando o fato de que $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_lA_{s})}$ é antissimétrico em $(l,s)$, temos

$$\int d^4x \partial_l\left\{\sqrt{-g}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_l A_{s})}A_{m}\partial_{s}\xi^m\right\} = \int d^4x \partial_l \partial_s\left\{\sqrt{-g}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_l A_{s})}A_{m}\xi^m\right\}$$ (27)

$$- \int d^4x \partial_l\left\{\xi^m\partial_s\left(\sqrt{-g}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_l A_{s})}A_{m}\right)\right\}$$

$$= \int d\sigma_l\xi^m\partial_s\left(\sqrt{-g}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_lA_{s})}A_{m}\right)$$

Juntamente com com a Eq.(26) isto dá

$$\delta S = \int d^4x\sqrt{-g} T^{k}_{i\; ;k}\xi^{i}$$ (28)

$$+ \int d\sigma_l\sqrt{-g}\left\{T^{l}_{m}-\Theta^{l}_{m}-\frac{1}{\... ...c{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_l A_{s})}A_m\right)\right\}\xi^m \; .$$

Isto deve se anular para $\xi^i$ e domínio de integração arbitrários. Por isso,

$$T^{k}_{i \; ;k}=0$$ (29)

e a integral de superfície também deve se anular. Em coordenadas cartesianas $\xi^m$ podem ser tomados constantes, e então segue que

$$T^{lm}-\Theta^{lm}-\frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_s\left(\sqrt... ...cal{L}}{\partial(\partial_l A_s)}A^m\right)=\partial_sG^{lms}$$ (30)

onde $G^{lms}$ é antissimétrico nos índices $(l,s)$. Ora, o último termo do primeiro membro tem ele mesmo esta simetria, de forma que

$$T^{l}_{\; m}-\Theta^{l}_{\; m}=\partial_sH^{lms} \; ,$$ (31)

onde $H$ é um novo tensor com as mesmas simetrias de $G$. Logo, $T$ e $\Theta$ são dois tensores de momento-energia equivalentes (Veja [1], §32).