Conclusão

No caso do meson vetorial a demonstração da equivalência fez uso de dois fatos: o lagrangeano não dependia de $\partial_l g^{ij}$, e $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_l A_s)}$ era antissimétrica em $(l,s)$. A última propriedade é comum a todos os lagrangeanos que descrevem partículas de spin inteiro, no formalismo de Fierz-Pauli[7]. Para um tratamento breve e muito lúcido desse formalismo, veja [8]. Em relação à dependência em $\partial_l g^{ij}$, veremos que nenhum problema se põe (no caso de haver a dependência) para o espaço-tempo de Minkowski. Considere um campo que é um tensor de posto $s$, simétrico em todos os seus índices, que se anula por contração em relação a qualquer par de índices, e que satisfaz a condição de 4-transversalidade,

$$\partial^i\psi_{i...}=0$$ (32)

e seja sua dinâmica descrita pela lagrangeana

$$\mathcal{L} = -(\partial_i\psi_{j_{1}...j_{s}})(\partial^i... ......j_{s}})+ m^2\psi_{j_{1}...j_{s}}\psi^{j_{1}...j_{s}} \; .$$ (33)

Este campo representa uma partícula de spin $s$ [8] e tem a variação de forma

$$\delta \psi_{j_{1}...j_{s}}=-\xi^m\partial_m\psi_{j_{1}...j... ... j_{2}...j_{s}}-...-(\partial_{j_{s}}\xi^m)\psi_{j_{1}...m}$$ (34)

Note que $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_i\psi_{j_{1}...j_{s}})}$ é antissimétrico em $(i,j_{k})$ para todo $k$. Podemos agora reproduzir cada passo da demonstração prévia. O termo $-\xi^m\partial_m\psi_{j_{1}...j_{s}}$ da variação de forma participará da expressão de $\Theta^{l}_{\; m}$. Os termos restantes da eq.(34) irão, como na eq.(29), compor os termos $G^{lmf}_{,f}$, que serão a soma de $s$ termos, todos com as mesmas simetrias de índices. Termina-se com a seguinte expressão:

$$\delta S = \int d^4x\sqrt{-g} T^{k}_{i;k}\xi^i+\int d\sigma_l\sqrt{-g}\left\{T^{l}_{\; m}-\Theta^{l}_{\; m}-G^{l \;\; f}_{m;f}\right\}\xi^m$$ (35)

$$+ \int d\sigma_l\frac{\partial(\sqrt{-g} \mathcal{L})}{\partial(\partial_l g^{ij})}\delta g^{ij}$$

Mas o espaço-tempo de Minkowski tem máxima simetria, o que quer dizer que é possível escolher os $\xi^m$ de maneira que

$$\delta g^{ij}=\xi^{i;j}+\xi^{j;i}$$ (36)

se anulem, restando uma família a 10 parâmetros de vetores arbitrários. O anulamento de $\delta S$ para cada um desses $\xi^i$ garante, portanto, o resultado

$$T^{lm}-\Theta^{lm}=\partial_jH^{lmf}$$ (37)

(onde o $H$ será, em geral, um novo tensor com as mesmas simetrias de $G^{lmf}$) mesmo quando o lagrangeano depende de $\partial_l g^{ij}$, desde que o espaço-tempo seja de minkowski. Poderíamos tratar também o caso de spin semi-inteiro, mas seria necessária a introdução do formalismo de tetradas, o que nos levaria longe demais. Por enquanto remetemos o leitor a [9].